沃利斯《無窮算術》中的重要成就:沃利斯公式的精彩篇章

2020-12-05 電子通信和數學

1656年,英國數學家約翰·沃利斯(John Wallis)出版了《無窮算數》,其中包括有助於微積分發展的重要思想以及找到π值得有趣方法,即「沃利斯積分」。

這個月,數學家塔瑪·弗裡德曼(Tamar Friedmann)和物理學家卡爾·哈根(Carl Hagen)發布了令人驚訝的瓦利斯積新證明,這是通過對氫原子的能態進行分析得出的。

瓦利斯比牛頓的艾薩克(Isaac Newton)大30歲,他對牛頓後來的微積分研究做出了巨大貢獻。

以下是沃利斯最重要的作品之一的摘錄

17世紀數學的聖戰之一是找到「圓的正交」問題的解決方案(嘗試使用直尺和圓規構造面積與給定圓相同的正方形)。

如何構造面積π的平方?

在關於通過積分找到半圓的區域的部分中,沃利斯陳述了一個有趣的結果,涉及分數乘積。

讓我們看一下結果(現在稱為Wallis公式)。它以分數的以下乘積開始:

接下來,我們將該結果乘以16/15相同模式的另一個分數:

下一步,以相同的模式繼續:

我們乘以36/35

第四步如下,最後我們乘以64/63:

我們乘以的分數每一步都接近1,如果繼續進行下去,我們會發現分數乘積的值不會高於:1.570796 ……

通常,對於該公式,我們將其寫成(使用數學符號):

這是n= 1到n = 20的序列圖:

我們可以看到它確實逐漸接近1.570796 ……所有這些的意義在於1.570796是π的一半:

因此,沃利斯公式可為我們提供π的良好近似值。

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