如何用TensorFlow生成令人驚豔的分形圖案

2021-01-07 雷鋒網

雷鋒網(公眾號：雷鋒網) AI科技評論按：本文作者何之源，原文載於知乎專欄AI Insight，雷鋒網 AI科技評論獲其授權發布。

今天來介紹一個小項目：在TensorFlow中生成分形圖案。分形本身只是一個數學概念，與機器學習並無太大關係，但是通過分形的生成，我們可以了解怎麼在TensorFlow中進行數學計算，以及如何進行基本的流程控制，是學習TensorFlow的一個非常好的練手項目。

在開始之前，需要說明的是，TensorFlow官方也提供了一個生成分形圖案的教程(地址： www.tensorflow.org/tutorials/mandelbrot)，然而官方教程中生成的圖像實在是太醜了，而且只能生成一種圖案，我對官方的代碼做了一些改進，並且加入了多種類型的分形，此外，不僅可以生成圖像，還可以製作gif動畫，代碼已經放到了Github上：https://github.com/hzy46/tensorflow-fractal-playground，主要的程序只有50行，歡迎大家參考。

Mandelbrot集合

Mandelbrot集合是分形中最經典的一個例子。考慮迭代公式 （z和c都是複數）。當 為0時，得到的值可以組成一個數列，依次為 。當該數列發散到無窮時，對應的點就屬於Mandelbrot集合。

如 時，顯然數列永遠是0，並不發散，因此0不屬於Mandelbrot集合。

又如 時，對應的數列為 ，數字越來越龐大，因此3i就屬於Mandelbrot集合。

在二維平面上，將所有不屬於Mandelbrot集合的點標記為黑色，將所有屬於Mandelbrot集合的點按照其發散速度賦予不同的顏色，就可以得到Mandelbrot的經典圖像：

<img src="https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/fdc6823436bde5a6ea991c1931747893.png" data-rawwidth="1000" data-rawheight="686" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1000" data-original="https://pic1.zhimg.com/v2-ffca32a868fc484837cd7bd17de6102c_r.png" _src="https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/fdc6823436bde5a6ea991c1931747893.png"/>

上面這張圖完全是使用TensorFlow進行計算的，類似的圖大家應該在網上也見過好多了，在TensorFlow中，我們定義下面的計算步驟：

xs = tf.constant(Z.astype(np.complex64))

zs = tf.Variable(xs)

ns = tf.Variable(tf.zeros_like(xs, tf.float32)) with tf.Session():
   tf.global_variables_initializer().run()
   zs_ = tf.where(tf.abs(zs) < R, zs**2 + xs, zs)
   not_diverged = tf.abs(zs_) < R
   step = tf.group(
       zs.assign(zs_),
       ns.assign_add(tf.cast(not_diverged, tf.float32))
   for i in range(ITER_NUM): step.run()
   final_step = ns.eval()
   final_z = zs_.eval()

zs就對應我們之前迭代公式的z，而xs就對應迭代公式中的c。為了方便起見，只要計算時數值的絕對值大於一個事先指定的值R，就認為其發散。每次計算使用tf.where只對還未發散的值進行計算。結合ns和zs_就可以計算顏色，得到經典的Mandelbrot圖像。

Julia集合

Julia集合和Mandelbrot集合差不多，但這次我們固定c，轉而計算發散的z的值。即c是固定的常數（可以任取），數列變成 。如果該數列發散，對應的z就屬於Julia集合。對此，我們只要在原來的程序中修改兩行內容，就可以生成Julia集合：

xs = tf.constant(np.full(shape=Z.shape, fill_value=c, dtype=Z.dtype))

zs = tf.Variable(Z)

我們在fill_value=c處指定了Julia集合中的c值，只要使用不同的c值，就可以生成完全不同的Julia集合！

默認： ：

&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/189e1749a0f7b44bd35b64923c1bc6c8.png&amp;amp;quot; data-rawwidth=&amp;amp;quot;1200&amp;amp;quot; data-rawheight=&amp;amp;quot;695&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;origin_image zh-lightbox-thumb&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;1200&amp;amp;quot; data-original=&amp;amp;quot;https://pic3.zhimg.com/v2-fa34eacb1ad6c4eebb7c3d59398c5e72_r.png&amp;amp;quot; _src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/189e1749a0f7b44bd35b64923c1bc6c8.png&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt;

將c值變為 ，並調整顏色（調整方法參考Github頁面的說明）：

&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/9f9146f45067fa89aa38bf6496273a70.png&amp;amp;quot; data-rawwidth=&amp;amp;quot;1200&amp;amp;quot; data-rawheight=&amp;amp;quot;1040&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;origin_image zh-lightbox-thumb&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;1200&amp;amp;quot; data-original=&amp;amp;quot;https://pic3.zhimg.com/v2-1c88aff1df12798b6a2b552079b7098e_r.png&amp;amp;quot; _src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/9f9146f45067fa89aa38bf6496273a70.png&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt;

選用 ，圖案又變得完全不同：

&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/3542c2f2c23a08d0b3b7452c51bc0d99.png&amp;amp;quot; data-rawwidth=&amp;amp;quot;1200&amp;amp;quot; data-rawheight=&amp;amp;quot;1040&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;origin_image zh-lightbox-thumb&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;1200&amp;amp;quot; data-original=&amp;amp;quot;https://pic1.zhimg.com/v2-3647ec260c639c35e37972dfad30fbd8_r.png&amp;amp;quot; _src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/3542c2f2c23a08d0b3b7452c51bc0d99.png&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt;

生成Julia集合的動畫

在Julia集合中，每次都對c的值進行微小的改變，並將依次生成圖片製作為gif，就可以生成如下所示的動畫，對應的代碼為julia_gif.py：

這裡由於上傳gif有大小限制的關係，只展示了一個小尺寸的動畫圖像。程序中提供了一個width參數，可以修改它以生成更大尺寸，質量更高的動畫圖像。

探索Mandelbrot集合

（注意：下面的圖片可能對密集恐懼症患者不太友好。。。因此慎重翻頁。。）

在前面生成的Mandelbrot集合中，我們可以將圖像放大，選取某些區域進行生成，就可以得到格式各樣造型迥異的分形圖案，對應的程序為mandelbrot_area.py。

在Mandelbrot集合中，有很多地方圖案比較奇特，如下圖中的9個位置。

&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/765b4cce7bfca4098c1caba17cb10d7c.gif&amp;amp;quot; data-rawwidth=&amp;amp;quot;200&amp;amp;quot; data-rawheight=&amp;amp;quot;150&amp;amp;quot; data-thumbnail=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/91ad333ebfbbd704323e532e3c0a543a.jpg&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;content_image&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;200&amp;amp;quot; _src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/765b4cce7bfca4098c1caba17cb10d7c.gif&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt;

其中編號為2的地方被稱為「Elephant Valley」，因為此處的圖案與大象很像，直接運行mandelbrot_area.py就可以得到該區域的圖像：

&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/d396fe230bbb0b28b8476219e51ca90c.png&amp;amp;quot; data-rawwidth=&amp;amp;quot;1000&amp;amp;quot; data-rawheight=&amp;amp;quot;800&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;origin_image zh-lightbox-thumb&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;1000&amp;amp;quot; data-original=&amp;amp;quot;https://pic4.zhimg.com/v2-936fa16a9362e7f350e15a2c695e2713_r.png&amp;amp;quot; _src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/d396fe230bbb0b28b8476219e51ca90c.png&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt;

編號為3的地方被稱為「Triple Spiral Valley」（三重螺旋），在mandelbrot_area.py修改一下坐標位置為(ratio調整的是顏色)：

start_x = -0.090  # x range

end_x = -0.086

start_y = 0.654  # y range

end_y = 0.657

width = 1000

ratio1, ratio2, ratio3 = 0.2, 0.6, 0.6

就可以得到該處的圖案：

&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/2633f166ac043e12dd0b9c1e3f2c312d.png&amp;amp;quot; data-rawwidth=&amp;amp;quot;1001&amp;amp;quot; data-rawheight=&amp;amp;quot;751&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;origin_image zh-lightbox-thumb&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;1001&amp;amp;quot; data-original=&amp;amp;quot;https://pic2.zhimg.com/v2-e3303f438522410d5db4c97b0b6ebfa9_r.png&amp;amp;quot; _src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/2633f166ac043e12dd0b9c1e3f2c312d.png&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt;

最後編號為1的地方被稱為「Seahorse Valley」（海馬山谷），對應的坐標為：

start_x = -0.750  # x range

end_x = -0.747

start_y = 0.099  # y range

end_y = 0.102

width = 1000

ratio1, ratio2, ratio3 = 0.1, 0.1, 0.3

圖像如下，確實和海馬有一點神似：

&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/084cc607c6e95f73777564bd4b0021ba.png&amp;amp;quot; data-rawwidth=&amp;amp;quot;1000&amp;amp;quot; data-rawheight=&amp;amp;quot;1000&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;origin_image zh-lightbox-thumb&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;1000&amp;amp;quot; data-original=&amp;amp;quot;https://pic1.zhimg.com/v2-ddec205c425dac242aba103c5e2e4bc0_r.png&amp;amp;quot; _src=&amp;amp;quot;https://static.leiphone.com/uploads/new/article/pic/201709/084cc607c6e95f73777564bd4b0021ba.png&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt;

生成更多的圖案

項目提供了兩個jupyter notebook：Mandelbrot.ipynb和Julia.ipynb可以對Mandelbrot集合、Julia集合做更方便的探索。其中，Mandelbrot集的更多坐標位置可以參考Quick Guide to the Mandelbrot Set（http://www.nahee.com/Derbyshire/manguide.html），Julia集中更多有趣的c值可以參考Julia set - Wikipedia（https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set#Quadratic_polynomials）。網上類似的資源還有很多。

最後再安利一下項目地址：https://github.com/hzy46/tensorflow-fractal-playground。如果代碼有什麼問題可以直接發在評論裡或者在Github上提出issue：）

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