作者：Bill Andrews 比爾·安德魯斯，量子雜誌，高級編輯 2020-12-23
譯者：zzllrr小樂 2020-12-24
對於數學家和計算機科學家而言，2020年充滿了跨學科的發現和對創造力的慶祝。幾個長期存在的問題導致了持續的協作，有時還作為快樂的副產品回答了其他重要問題。儘管有些結果可以立即應用，研究人員可以改進發現或將其納入其他工作，但其他結果目前仍是啟發，暗示進展觸手可及。
年初，量子雜誌描述了五名計算機科學家如何確定對糾纏的量子計算機驗證問題的極限能力。作為他們工作的一部分，研究小組還回答了物理學和數學領域的長期問題，這使一直致力於這些問題的研究人員感到驚訝。另一組的合作加強了連接遙遠數學領域的深遠橋梁。被稱為朗蘭茲對應關係的這座猜想橋為加深我們對許多數學子領域的理解提供了希望。
今年，我們還探索了數學家對幾何構造的日益熟悉情況，研究了電腦程式如何幫助數學家提供證明，並調查了數學的現狀及其存在的問題。但是，今年並非所有新聞都令人欣喜：COVID-19的大流行使在職數學家的研究複雜化，他們越來越依靠合作來推動這一領域的發展。這場流行病還奪走了偉大的數學家約翰·康威（John Conway）的生命，大約一個月前，我們就傳出一個研究生解決了一個涉及他的標誌性結的著名問題的消息。
計算機科學分支
有時，科學成果是如此重要，許多學科被迫引起重視。一月份就有這種例子，一個簡單地稱為「 MIP * = RE」的地標性證明。由五位計算機科學家撰寫的論文證明，糾纏量子位計算的量子計算機可以從理論上驗證對一系列問題的答案。在研究過程中，研究人員還回答了另外兩個主要問題：物理學中的Tsirelson問題，有關粒子糾纏的模型以及純數學中的一個問題，即孔涅嵌入猜想（Connes embedding conjecture）。當然，對於研究工作涉及這個猜想的研究人員（該論據指出，無窮維矩陣總是可以用有限的矩陣來近似），突然從外部論文中得知這是錯誤的，很令人震驚。數學家現在必須重新審視與這些矩陣有關的其他假設，同時急忙學習足夠的計算機科學以理解本文。
今年，計算機科學家還成功地解決了著名的旅行銷售員問題，該問題涉及如何找到任何城市集合的最短往返行程。7月，三位計算機科學家使用一種稱為多項式幾何的數學學科來證明，現代算法比起長期存在的最佳方法可以無限小地提高效率。聽起來至少相差至少「 1萬億分之一的2萬億分之一」，但事實證明，這個問題持續了數十年，確實有可能取得進展。
Daniel Castro Maia
開發數學思想的聯繫
近三十年前，費馬最後定理的證明受到世界各地數學雜誌和報紙的稱讚。但這僅僅是更大努力的開始。該定理建立了一種遙遠的數學大陸之間的橋梁，一側是某些代數方程，另一側是一種幾何平鋪的對稱組織。當兩篇論文極大地擴展了現在已連接的方程式和拼貼的類型並消除了進一步擴展的長期障礙時，這座橋梁被稱為朗蘭茲相關性（Langlands correspondence），得到了重大升級。芝加哥大學的馬修·埃默頓（Matthew Emerton）說：「有一些正在揭示的基本數論現象，而我們才剛剛開始理解它們是什麼。」
在其他數字新聞中，Vesselin Dimitrov使用另一個著名的橋梁-將多項式連接到冪級數-精確地量化多項式的某些數值解如何在幾何上相互排斥。量子雜誌還探索了表示論理論的力量，它展示了將稱為群的複雜對象與更簡單的矩陣概念聯繫起來的連結。所有這些結果都表明在新的情況下考慮現有數學思想的重要性，以弄清問題是否目前可以解決。例如，牛津大學的數學家詹姆斯·梅納德（James Maynard）經常花時間來解決著名的難題，並且頑固地拒絕接受失敗，並從質數之間的間距中獲取新的見解。
盧卡斯·施拉根豪夫（Lukas Schlagenhauf）
事物的形狀
許多數學問題不會對現實生活產生影響，但是在3月，量子雜誌承擔了宇宙本身的幾何學難題。我們對生活在平面，球形和雙曲幾何（根據當前數據，最有可能的選擇）形狀中的離奇展望的探索揭示了一個鏡像大廳，你可以看到自己的無限副本，也可以看到同伴越來越大的世界。他們離開了。儘管某些線索暗示著我們的宇宙很可能是一個平坦的宇宙，但它可能只是看起來是平坦的，就像當您站在地球上時，地球看起來顯然是平坦的一樣。
在一個無關宇宙的領域，兩位數學家終於在5月解決了一個古老的問題，即通過在光滑連續的閉環上連接點可以找到什麼樣的矩形。通過將可能的矩形重新想像為特殊版本的四維空間內的點的集合，這兩個數學家發現所有此類循環都包含一些點集，這些點集定義了任意比例的矩形。同樣在五月，三位數學家解決了關於十二面體的一個基本問題（十二面體，對我們的專欄作家羅伯特·迪克格拉夫（Robbert Dijkgraaf）來說，是一種數學美的形式。）。他們表明，確實有可能在不經過任何其他拐角的情況下在形狀的表面上跟蹤往返行程，實際上，他們發現存在無限數量的此類路徑。
Baka Arts
計算機入侵數學
幾十年來，數學家一直使用稱為證明助手的電腦程式來幫助他們編寫證明-但是人類一直在引導過程，選擇證明的總體策略和方法。這可能很快就會改變。許多數學家對名為Lean的程序感到興奮，該程序是一種高效且令人上癮的證明助手，有一天可以幫助解決重大問題。不過，首先，數學家必須將數千年的數學知識（其中大部分是未書寫的）數位化為Lean可以處理的形式。研究人員已經對一些最複雜的數學思想進行了編碼，從理論上證明了該軟體可以處理難題。現在，剩下的只是一個問題了。
該軟體的一項重大測試將於明年在國際數學奧林匹克IMO上進行。微軟研究院的丹尼爾·塞爾薩姆（Daniel Selsam）創立了IMO大挑戰賽，該挑戰賽希望利用Lean開發一種人工智慧，該人工智慧可以在數學競賽中獲得金牌。用電子計算機來代替人類我們還有很長的路要走，當然，許多數學家仍然沒有完全接受這些程序。但是計算機現在已成為數學研究的主流，其純粹的計算能力被證明對回答某些大問題至關重要，例如多維正方形是否必須精確地共邊。
回歸本源
如果您對數學感興趣，但是不能從有限域中分辨出卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形，那麼我們的數學地圖可能會有所幫助。正如數學家所理解和實踐的那樣，該地圖圍繞三個起點（數字，形狀和變化）進行組織，提供了當前數學狀態下的速成課程。顯然，這並不是一個全面的主題，但我們的最大目標是不僅說明最重要的數學概念，而且說明它們之間的關係。
對基本數學思想的其他潛在有益的探索包括對哥德爾Gdel不完全性定理的解釋，證明所有數學系統都有一些無法證明的陳述，並討論稱為p進位（p-adic）數的替代數系統如何工作以及為什麼證明了它們有助於理解有理數。
Ian MacLellan
約翰·康威的遺產
成功的數學家通常是富有創造力的人，能夠發現新的聯繫並找到解決舊問題的新方法。2月，《數學年鑑》發表了Lisa Piccirillo的證明，後者在仍然是研究生的時候，用一些久負盛名但很少使用的數學工具回答了數十年來關於結的問題。長期以來，以傳說中的數學家約翰·康威（John Conway）的名字命名的一個特定結一直躲避數學分類，因為它被稱為「切片」。但是，通過開發適用於傳統結分析的結版本，Piccirillo最終確定了康威結不是「切片」。
不幸的是，康威本人於四月死於COVID-19，他的妻子在我們的評論部分確認他不知道Piccirillo的結果。康威（Conway）自己的貢獻遠不止於結理論-他豐富了群論，數論，分析等等，同時始終對遊戲和謎題感到快樂。量子雜誌的十月洞察「 October Insights」難題向他致敬，其中包括他發明的數字謎語以及基於他或受其啟發的遊戲。