高中數學必修二
·空間幾何體
1.1空間幾何體的結構
稜柱
定義：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊
形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜柱、四稜柱、
五稜柱等。
表示：用各頂點字母，如五稜柱或用對角線的端點字母，如
五稜柱
幾何特徵：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側稜平行且相等；平行於底面的截面是與底面全等的多邊形。
稜錐
定義：有一個面是多邊形，其餘各面都是有一個公共頂點的三角形，
由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜錐、四稜錐、
五稜錐等
表示：用各頂點字母，如五稜錐
幾何特徵：側面、對角面都是三角形；平行於底面的截面與底面相似，其相似比等於頂點到截面距離與高的比的平方。
稜台
定義：用一個平行於稜錐底面的平面去截稜錐，截面和底面之間
的部分
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜態、四稜台、
五稜台等
表示：用各頂點字母，如四稜台ABCD—A'B'C'D'
幾何特徵：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側面是梯形 ③側稜交於原稜錐的頂點
圓柱
定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其餘三邊旋轉所成的
曲面所圍成的幾何體
幾何特徵：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面
圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。
圓錐
定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的
曲面所圍成的幾何體
幾何特徵：①底面是一個圓；②母線交於圓錐的頂點；③側面
展開圖是一個扇形。
圓臺
定義：用一個平行於圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之
間的部分
幾何特徵：①上下底面是兩個圓；②側面母線交於原圓錐的頂點；
③側面展開圖是一個弓形。
球體
定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的
幾何體
幾何特徵：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等
於半徑。
1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖
1.中心投影與平行投影
中心投影：把光由一點向外散射形成的投影叫做中心投影。
平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。
2.三視圖
正視圖：從前往後
側視圖：從左往右
俯視圖：從上往下
畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等
3.直觀圖：斜二測畫法
斜二測畫法的步驟：
（1）.平行於坐標軸的線依然平行於坐標軸；
（2）.平行於y軸的線長度變半，平行於x，z軸的線長度不變；
（3）.畫法要寫好。
1.3空間幾何體的表面積與體積
（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。
（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）
（3）柱體、錐體、臺體的體積公式
球體的表面積和體積公式：V= ； S=
·空間點、直線、平面的位置關係
公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，那麼這條直線是所有的點都在這個平面內。
（即直線在平面內，或者平面經過直線）
應用：判斷直線是否在平面內
用符號語言表示公理1：
公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。
推論：一直線和直線外一點確定一平面；
兩相交直線確定一平面；
兩平行直線確定一平面。
公理2及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據 ②它是證明平面重合的依據
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那麼它們有且只有一條過該點的公共直線
符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。
符號語言：
作用：
①它是判定兩個平面相交的方法。
②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關係：交線必過公共點。
③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據。
公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行
空間兩條直線的位置關係
位置關係
公共點的個數
共面直線
相交直線
在同一個平面內，有且僅有一個公共點
平行直線
在同一個平面內，沒有公共點
異面直線
不同在任何一個平面內，沒有公共點
直線與平面的位置關係
位置關係
公共點的個數
直線在平面內
直線上有兩個點在平面內，則這條直線上的所有點都在平面內
直線在平面外
直線和平面相交
直線與平面有且僅有一個公共點
直線和平面平行
直線與平面沒有公共點
空間直線與直線之間的位置關係
① 異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線
② 異面直線性質：既不平行，又不相交。
③ 異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線
④ 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點O，分別引直線a』∥a，b』∥b，則把直線a』和b』所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的範圍是（0°，90°]，
若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。
說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據異面直線的定義；②異面直線的判定定理
（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關。
②求異面直線所成角步驟：
A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角
（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那麼這兩角相等或互補。
三種位置關係的符號表示：aα a∩α＝A a∥α
（8）平面與平面之間的位置關係：平行——沒有公共點；α∥β
相交——有一條公共直線。α∩β＝b
空間中的平行問題
直線和平面平行：直線與平面沒有公共點，則稱直線與平面平行，記作
兩個平面平行：沒有公共點的兩個平面叫做平行平面。
（1）直線與平面平行的判定及其性質
線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。
線線平行線面平行
線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平
面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。
線面平行線線平行
（2）平面與平面平行的判定及其性質
兩個平面平行的判定定理:
①如果一個平面內的兩條相交直線都平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行
線面平行面面平行
②如果兩個平面同垂直於一條直線，那麼這兩個平面平行
平行於同一個平面的兩個平面平行
兩個平面平行的性質定理
（1）如果兩個平面平行，那麼在一個平面內的所有直線都平行於另一個平面
且
（面面平行→線面平行）
（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行
（面面平行→線線平行）
（3）如果兩個平行平面中有一個垂直於一條直線，那麼另一個平面也垂直於這條直線
空間角問題
（1）直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角：規定為。
②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大於直角的角，叫這兩條直線所成的角。
③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大於直角的角叫做兩條異面直線所成的角。
④範圍：
（2）直線和平面所成的角
①平面的平行線與平面所成的角：規定為。 ②平面的垂線與平面所成的角：規定為。
③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。
求斜線與平面所成角的思路類似於求異面直線所成角：「一作，二證，三計算」。
在「作角」時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在於斜線上一點到面的垂線，
在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。
④範圍：
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的稜，這兩個半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的稜上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直於稜的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那麼這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那麼所成的二面角為直二面角
④求二面角的方法
定義法：在稜上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內作垂直於稜的射線得到平面角
垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角
範圍：
空間中的垂直問題
（1）線線、面面、線面垂直的定義
①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。
②線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。
③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。
(2)線線垂直
定義: 直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．該直線叫做平面的垂線，該平面叫做這條直線的垂面
線面垂直的性質：;
線面垂直的判定定理
判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線
垂直於這個平面
；
注意點： 定理中的「兩條相交直線」這一條件不可忽視；
推論： 如果在兩條平行直線中，有一條垂直於平面，那麼另一條直線也垂直這個平面
⇒b⊥α
線面垂直的性質定理
（1）垂直於同一個平面的兩條直線平行
.
（2）如果兩條平行線中的一條垂直於一個平面，那麼另一條也垂直於這個平面。
三垂線定理： 平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它就和這條斜線垂直
三垂線定理的逆定理： 平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼，它也和這條斜線的射影垂直
（3）面面垂直
定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.
面面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.
面面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直於交線的直線與另一個平面垂直
.
·直線與方程
（1）直線的傾斜角：對於一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時，所轉的最小正角叫做直線的傾斜角
直線的傾斜角取值範圍是0°≤α＜180°
（2）直線的斜率
①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
當時，； 當時，； 當時，不存在。
②過兩點的直線的斜率公式：
（3）直線方程
①點斜式：直線斜率k，且過點
②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b
③兩點式：（）直線兩點，
④截矩式：其中直線與軸交於點,與軸交於點,即與軸、軸的截距分別為。
⑤一般式：（A，B不全為0）
（4）直線系方程：即具有某一共同性質的直線
（一）平行直線系
平行於已知直線（是不全為0的常數）的直線系：（C為常數）
（二）過定點的直線系
（ⅰ）斜率為k的直線系：，直線過定點；
（ⅱ）過兩條直線，的交點的直線系方程為
（為參數），其中直線不在直線系中。
（5）兩直線平行與垂直
當，時，
；
注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。
（6）兩點間距離公式：設是平面直角坐標系中的兩個點，
則
（7）點到直線距離公式：一點到直線的距離
（8）兩條平行線間的距離公式：兩條平行線與間的距離
·圓的方程
1.定義：平面內到定點的距離等於定長的點的集合（軌跡）叫做圓。定點就是圓心，定長就是半徑
2.圓的方程
（1）標準方程，圓心，半徑為r；
（2）一般方程
當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為
當時，表示一個點，；
當時，方程不表示任何圖形。
（3）求圓方程的方法：
一般採用待定係數法：先設後求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。
·點、線、圓的位置關係：
直線與圓的位置關係有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：
（1）設直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；
（2）設直線，圓，先將方程聯立消元，得到一個一元二次方程之後，令其中的判別式為，則有
；；
(3)過圓上一點的切線方程：
①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為 (課本命題)．
②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣)．
圓與圓的位置關係：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
設圓，
兩圓的位置關係常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
當時兩圓外離，此時有公切線四條；
當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；
當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；
當時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線；
當時，兩圓內含； 當時，為同心圓。