山不在高，有仙則靈——地球山高極限的探討

摘要：地球上的最高峰是海拔8844的珠穆朗瑪峰，其底部必然承受著其他山脈不能比擬的巨大的壓力。隨著山高的增加，底部的壓力甚至可能會超出了巖石的承受極限，此時就會發生山崩地裂。由此可見，山的高度存在著一個極限值。本文將從力學的角度，探討一下地球高山的高度極限。

關鍵詞：高山，高度極限，力學，科學，物理

1、引言

地球上，最高的高山是喜馬拉雅山，最高峰海拔達到了8844m，據報導珠穆朗瑪峰仍然以每百年7cm的速度在抬升。科學家們通過實地勘測發現珠峰地區存在著不少的拉伸變形的巖石，表明了喜馬拉雅山存在著斷裂帶。這意味著喜瑪拉雅山曾經發生過斷裂坍塌，科學家們猜測其高度曾經高達1.2萬米。

珠穆朗瑪峰

珠峰曾經的高度達到了1.2萬米，這個高度是否就是地球山高的極限值呢？實際上，山的高度不僅僅與巖層的承受極限有關，還與高空中低溫條件下冰川的腐蝕有關。丹麥奧爾胡斯大學的Egholm教授就冰川對巖石的腐蝕進行了研究，他們對不同的山進行分析，得到了一個數學模型，證明了冰川滑移對巖層的侵蝕，相關結果發表在2009年的《Nature》上。

此外，隨著高度的增加，底部的壓力將會非常巨大。假設巖石比較堅固，不會被壓裂。高壓的情況下，底部容易出現高溫，將巖層融化，這樣山體就會垮塌下來。

底部的高壓高溫讓巖層融化

儘管，關於山脈高度問題有各種各樣的原因。但是冰川腐蝕畢竟需要時間，對山體的削弱能力有限；山體底部的高壓高溫形成條件太過苛刻，在被融化之前，巖層就因承受不了高壓而破碎了。因此，巖層的力學性能才是限制高山高度的主要因素。本文將從簡單的模型開始，考慮巖層的抗壓性能，獲取地球山脈高度的極限值。

2、山體數據

山體是個複雜的組合物，含有巖石、土壤、植被等等多種材（如下圖），其中巖石層是主要的承力結構。不同巖石的強度都各不相同，對於比較「硬」的花崗巖，其抗壓強度在300MPa左右，抗拉強度4MPa左右，抗剪強度28MPa左右，花崗巖密度3000kg/m3。可見，花崗巖的抗壓強度要遠大於另外兩個強度。即：花崗巖很耐壓。實際上，絕大多數材料都具備這種性能。

山體分層示意圖

土壤層密度取1800kg/m3，冰川密度900kg/m3。實際上，山體的絕大部分結都是巖層，只不過不同高度，巖層的性質不太一樣，越接近表面，巖層密度越小。

3、力學基本原理

以巖層作為研究對象，底層的巖層受到三個方向的壓縮，處於三向壓縮的應力狀態，如下圖。

三向壓縮應力狀態

巖石作為一種脆性材料，雖然其抗壓強度高，但是抗剪強度要低很多。在受壓的情況下，極易在45°左右發生壓裂。單向受壓的情況下，在45°會產生最大的剪應力，當這個剪應力達到抗剪強度時，巖石被壓裂，如下圖。

壓裂裂縫必成45°角

4、理論計算——單向受壓

簡單起見，忽略山體的其他組成部分，僅以巖層作為對象。地表的重力加速度9.8m/s2，在2萬米的高空，重力加速度約9.74m/s2。兩者相差不大，因此本文取9.8m/s2。取巖層底部作為研究對象，其受到上面巖石的重力，以及四周側面的擠壓力。作為簡單計算，先暫時忽略四周的擠壓應力。

受力分析

底層巖石受到的壓應力與高度、密度，和重力加速度有關。根據巖石的抗壓極限300MPa，可以得到此時對應的高度Ｈ＝10204m。根據巖石的抗剪強度28MPa（此時壓應力56MPa），可以得到對應的高度H=1905m。通過上述計算，我們發現基於壓應力和剪應力得到的山體高度相差了5倍左右。

根據單向受壓的模型，發現：假如存在一個呈柱狀的山體，那麼其高度不超過1905m。否者，就會在自重的作用下壓潰。這一結果與實際相差太遠，因為實際山體處於三向壓縮的應力狀態下。側面的擠壓應力，會大大緩解45°的剪應力。

5、山體的有限元分析——三向壓縮

為了簡化模型，以圓錐形的山作為分析對象。假設山高2萬米，底部半徑分別取0.5、1、2萬米。在自重作用下，等效應力如下圖。

三種尺寸下的等效應力雲圖

三向壓縮的情況下，很難發生45°的剪切破壞。因此，我們已等效應力作為判斷依據。通過計算，三種尺寸的最大應力200MPa以上，如果是花崗巖，還未達到其抗壓強度。由此可見，地球上2萬米的高山，理論上是可以存在的。

超出抗壓極限的山體

為了確定山體的高度，經過多次試算，發現底部應力不僅僅與高度有關，同樣的高度下，半徑越大，底部應力也越大。上圖為高3W米，半徑3W米的情況，此時，最大應力早已超出巖石的承受極限了。

6、總結

山體高度除了受冰川侵蝕、巖層風華外，最主要的是巖石自身的強度極限。通過計算，單向壓縮情況下，花崗巖山體不超過1904m。但是考慮更加符合實際的三向壓縮，山體高度與其底部面積有關。底部面積越大，山中心的等效應力也越大。計算表明，2萬米高的山脈，在地球上是可以實現的。最高究竟有多高，這與底部面積有關，無法給出確切的一個值。