雖然在常規攝影主題中屬於「少數派」，但魚眼鏡頭在安監、國防軍事、管道檢測、天氣預報等場合都有著很重要的作用，事實上魚眼鏡頭的歷史相對而言不算悠久，1905年美國物理學家羅伯特伍德通過水下對空成像（斯涅耳窗口）拍下了目前已知最早的一張魚眼照片：
這是因為光線在介質間傳播遵從斯涅耳折射定律，當折射率為1..33水體處於平靜狀態時，水下的成像裝置只需要97.2度視場角就能滿足全反射條件，實現對水面以上的半球空餘的全景觀察。如果大家有機會去海裡、湖裡潛水的話可以試著在水下仰望天空，你就會親眼見證斯涅耳窗口究竟是什麼。
真正應用到攝影領域的魚眼鏡頭在1960年代才開始逐漸出現，而對於現代光學應用來說，魚眼鏡頭的物方視場角往往需要超過180度，而這又會引入不少新的設計挑戰。首先是選擇合適的投影方式，普通鏡頭採用理想的直線投影：
y為像高，可以理解為傳感器對角線長，f為焦距，θ為半視場角，不同畫幅鏡頭之間的換算可以用此式來解決。可以看到當半視場角為90度時其正切值為無限大，而超過90度之後像高為負值，所以180度視場角及以上的魚眼鏡頭都需要換用非直線投影，引入桶形畸變把半球市場投影到有限的平面靶上，主要有等距、等體、正交、體視等四種投影方式，最常見的是等距投影：
像點到畫面中心的距離和物方視場角呈線性關係，而且當視場角固定時，就是一個僅僅與焦距呈比例的關係，這個投影方式的特點很明顯：視覺上被壓縮的邊緣位置，實際與中心部分有著相同甚至更大的像素佔比。這裡可以做個簡單的計算，基本的邏輯就是求邊緣的角解析度分布變化，假設為一顆180度物方視場角魚眼鏡頭，也即θ=90度=π/2，像素間距為p，納入評價畸變k（k=1+fθ畸變）後，傳感器邊緣y1的等距投影就是：
與之相隔2個像素間距的位置y2及其對應的視場角θ2和評價畸變k2有如下關係：
由此可得視場角θ2：
所以，此時的邊緣角解析度θr就是兩個像素間距，除以兩個視場角θ和θ2的夾角：
然後對f求微分：
由此可見，焦距f減小，邊緣角解析度θr就越小，這意味著邊緣區域佔據的像素空間越大，而視場中心區域所佔據的像素空間就越小。其實其他幾種魚眼投影也有相似的性質，但因為等距投影無論中信還是邊緣，每弧度角對應的距離是相同的，所以總體來說等距投影的成像會更加均勻，不會出現中心與邊緣失衡的問題，像體視投影會讓中心過小而邊緣過大，等積投影則是中心偏大邊緣偏小，畸變最大的正交投影更是邊緣空間嚴重壓縮而中心過大……做了一個f=1，物方視場角2θ=180度圓周魚眼使用不同投影的分布形態GIF，大家自行觀察吧：
而且等距投影的畫面中心部分的畸變較小，綜合來說對攝影等應用來說比較方便使用，對安監軍事應用也可以直接通過圖像法提取角坐標，實時性很強。當然，其他投影在既定條件下也有自身優勢，也依然有採用這些投影方式的鏡頭。
順帶一提，不同的投影方式即便視角和像高相同，也會有不同的焦距，所以魚眼鏡頭之間的規格對比首先需要建立在投影方式相同的前提下。
在選擇好投影方式之後，接下來就是確定成像類型，熟悉魚眼的朋友應該知道有對角線魚眼和圓周魚眼之分：
上為對角線魚眼，下為圓周魚眼：
其實兩者的差距就是像高y的不同，比如採用等距投影，在傳感器尺寸和半視場角相同的情況下想要覆蓋對角線，就意味著y要更大，顯然此時就需要更大的焦距f，因此對角線魚眼鏡頭往往有比較長的焦距，以全畫幅為例，對角線魚眼y=21.63mm時，θ=90度=1.57弧度，可算出焦距為13.78mm，將評價畸變納入後可取14mm，而如果是圓周魚眼，也就是指覆蓋全畫幅的寬邊，此時y=12mm，焦距就變成了7.64mm，可取為8mm，採用這一設計的代表產品就是佳能的EF 8-15mm F4。
雖然兩者焦距不一樣，但視場角卻是基本一致，換個角度來說，可以把對角線魚眼理解成圓周魚眼取中間3:2區域再放大，得益於利用了更大的傳感器面積所以畫質會更好，但建立在犧牲上下視角的前提下。
基礎知識介紹了不少，接下來就可以看看今天分析的主角：老蛙4mm F2.8了，這顆鏡頭的視場角達到了210度，採用等距投影設計，這樣一來可以算出它的像高為14.67mm，顯然這是一顆可完整覆蓋M43和部分覆蓋APS-C畫幅的圓周魚眼鏡頭。我手裡這顆是索尼E卡口版本，測試機型為A6100，不過，實測有效成像圈大概是以3400像素為直徑，總計約910萬像素（在6400萬像素全畫幅A7R4上約1020萬，在2000萬像素M43機型上有1187萬左右）。這意味著它的像高其實只有13.26mm，剛好等於M43傳感器的高，實際焦距在3.6mm左右，因存在評價畸變所以標定為4mm。
看看長啥樣吧先：
第一感覺是很小巧，而且從完全包裹式的鏡頭蓋到鏡身均採用金屬材料，耐用性理論上會相對較好。 操控自然是光圈、對焦全手動，不過考慮到它的景深非常深，即便是F2.8全開，超焦距起點也僅僅只有不到30cm（對焦到30cm時從15cm到無限遠均在景深內），收到F5.6時就更進一步來到15cm左右……我一般就把對焦放在0.2m位置並選擇F5.6或更小的光圈上，所以老蛙4mm F2.8的使用方式其實跟理光GR系列等街拍相機差不多。
當然它也能小小的微距一下，最近對焦距離僅8cm左右，前景組幾乎要貼到被攝物，再加上F2.8的作用下，效果還是挺不錯：
210度的視場角在拍攝時會遇到一個比較尷尬的問題，那就是非常容易把握持相機手柄的手指給拍下來：
從超過180度的側面能清晰的看到入瞳：
也很容易一不小心就看到攝影師的腳，拍攝時需仔細注意（但也並不一定是缺點，比如想偷拍旁邊妹子的時候，這就成優勢了，嘿嘿）。
所以我在使用時會把相機放在手持自拍架上：
這樣一來基本上就可以避免手腳入鏡了，拍視頻的時候也相對比較方便。總體來說老蛙4mm F2.8的成像以視覺新穎性取勝，可以拍出一些比較有趣的效果：
以上圖片均有不同程度的後期處理，但至少對於社交媒體、生活紀實等主題來說老蛙4mm F2.8結合索尼APS-C機身是完全夠用，甚至還挺有趣的。不過，雖然它的價格確實不貴（1280塊），但並不意味著設計起來很容易，主要有如下幾個難點。
第一個難點是像面照度均勻性，可以理解為暗角。越是廣角鏡頭，越容易出現暗角，主要原因就是軸外像點照度受餘弦四次方定律影響（從軸外像點來看，光程增大、出瞳減小、光照散布面增大，總計為像方視場角的餘弦四次方倍）。
解決方法主要有2個，其一是物方遠心，其二是利用像差。物方遠心設計對於短焦距的圓周魚眼來說比較容易實現，簡單來說就是把光圈放在後鏡組的前焦點位置，此時入瞳就位於無限遠，主光線與光軸平行入射。因為焦距短，所以在比較短的軸向距離上就能做到，不至於讓前列的負鏡組尺寸過大，體型可以有效控制。
利用像差校正邊緣照度首先是依靠魚眼反望遠設計的前組負鏡產生大量桶形畸變，從而降低像方視場角，減小餘弦四次方的影響。其次是利用彗差，使光圈的放大倍率隨軸外點增大，也就是越偏軸外，越能獲得更大的通光孔徑，進而增大邊緣照度，但增大彗差往往意味著增大鏡後距，特別對無反系統來說這一點在設計時需要仔細平衡。
事實上看老蛙4mm F2.8的RAW原圖，暗角控制得還不錯，後期稍微拉一下就OK，這說明它比較好地利用了上述兩種校正手段。
而魚眼鏡頭的第二個挑戰是軸外倍率色差，原因與我前一篇Qoocam 8K全景相機文章分析的一樣，主要的限制在前組負鏡的材料上，既要高折射率以滿足系統所需的畸變和縮小像方視場角，又要高阿貝數來校正色差，這樣的材料目前還比較少，常規鑭系玻璃可以做到d線折射率1.74，阿貝數45就很不錯了，而且又會因為異常分散性較低而難以校正軸上二級光譜，考慮到老蛙4mm F2.8本身價格定位就不高，所以這方面的也幾乎就是「量力而行」，軸外倍率色差還是比較明顯：
如果要問解決方案，當然最簡單的就是使用新材料，比如藍寶石單晶，d線折射率超過1.76，阿貝數則可以達到72以上，對軸外倍率色差的校正有相當大的意義，不過難點是藍寶石的硬度很高（僅次於金剛石），加工與拋光所面臨的難度和成本也相對較高。
除此之外，面型精度也很重要，往往超廣角鏡頭的前組負鏡都會採用雙面非球面工藝，目的自然是校正各類像差，但遺憾的是老蛙4mm F2.8沒有採用非球面設計，其實通過採用低熔點材料做壓膜成形也並非難事，未採用這樣的設計應該也還是與成本相關。
當然，如果再放開一點，採用折衍混合設計，在後組加入衍射元件並利用其對波面任意相位調製的特性，不僅可以校正像差，還能讓結構更簡單，體型更小，但這都屬於偏向理論的設計，未來能否見到這樣的產品尚屬未知。
魚眼設計的第三個難點是眩光，但這個目前幾乎沒有辦法可解決，老蛙也不例外，只能忍忍了（其實有時候眩光還是主觀加分項）：
總結一下，老蛙4mm F2.8圓周魚眼從目前來看成像區域僅覆蓋1000萬像素左右，再加上日常拍攝的情況下放大倍率低，因此並沒有在解析度上做太大的突破，光學設計基於魚眼鏡頭的基礎而上限截止於「夠用就好」。但它的成像是比較均勻的，沒有出現邊緣解析度劇烈下降的問題，主要的看點還是獨特的視角和較高的性價比，買來玩玩，拍拍視頻也很有趣，也是新冠肺炎疫情期間我宅在家主要的把玩對象。