常用地球半徑差異符號表達式
宗敬文1 , 李厚樸1 , 邊少鋒1 , 唐慶輝2
1. 海軍工程大學導航工程系, 湖北 武漢 430033;
2. 32022部隊, 湖北 武漢 430033
收稿日期：2018-04-10；修回日期：2018-09-21
基金項目：國家自然科學基金（41571441；41771487；41631072）
第一作者簡介：宗敬文(1995-), 男, 博士生, 研究方向為大地測量。E-mail:zjw19950613@163.com
通信作者：李厚樸, E-mail：lihoupu1985@126.com
摘要：對測量和地球科學計算中5種常用地球半徑進行了全面系統的比較，藉助計算機代數系統推導出常用地球半徑之間的差異最值點及其對應的最值和它們之間相等點大地緯度的符號表達式，並將其表示為偏心率e的冪級數形式，最後以CGCS2000橢球為例，將各個常用地球半徑的差異明確到數值上。結果表明，常用地球半徑之間差異在緯度為90°時存在最大值，在緯度為0°時存在最小值，平均曲率半徑與等距離球半徑間差異最大，平均曲率半徑與平均球半徑間差異最小。這些結果可為地球科學、空間科學、導航定位相關研究提供理論依據。
關鍵詞：地球半徑 差異最值 最值點 符號表達式 CGCS2000
Symbolic expressions of differences between earth radius
ZONG Jingwen1 , LI Houpu1 , BIAN Shaofeng1 , TANG Qinghui2
1. Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;
2. 32022 Troops, Wuhan 430033, China
Foundation support: The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41571441;41771487;41631072)
First author: ZONG Jingwen(1995—), male, PhD candidate, majors in geodetic surveying.E-mail:zjw19950613@163.com
Corresponding author: LI Houpu, E-mail: lihoupu1985@126.com
Abstract: A systematic and comprehensive comparison of the five commonly used earth radius in geodesy and cartography is carried out, and the differences between the most common points of the earth's radius, their corresponding maximum values, and the latitudes of equal points between themare derived with the help of computer algebraic systems. The symbolic expressionsare expressed as a power series of the first eccentricity. Taking the CGCS2000 ellipsoid as an example, the differences between the commonly used earth radii are clarified to numerical values. The results show that the difference between the commonly used Earth radii has a maximum at 90 degrees and a minimum at 0 degrees. The difference between the average radius of curvature and the equidistant sphere radius is the biggest, and the difference between the average radius of curvature and the average sphere radius is the smallest. These results can provide theoretical basis for relative research in earth science, space science, navigation and positioning.
Key words: earth radius difference extrema value extrema value point symbolic expression CGCS2000
地球半徑是測量和地球科學計算中最常用的基本參數，根據地球科學、空間科學、導航定位的要求和某些需求，常用到平均曲率半徑、平均球半徑、等距離球半徑、等面積球半徑和等體積球半徑這5種地球半徑[1-4]。隨著空間技術和計算機技術在大地測量及地圖學中的應用和發展，研究常用地球半徑間的關係及它們之間的差異問題具有更加重要的實用價值。對於這一問題，國內外許多學者進行了研究，取得了顯著成果。文獻[5—6]提出使用不同的球體半徑表示球體特性，將不同球體半徑代入克拉索夫斯基橢圓參數求得數值解，再代入球體面積公式，求得不同半徑下大圓航線長度和角度變形大小，發現使用等角球半徑計算大圓航線可以滿足航海使用精度要求。文獻[7]將子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑展為大地緯度的冪級數，並且藉助輔助函數V導出了不同形式的平均曲率半徑展開式。文獻[8]中利用等距離球半徑和等面積球半徑，推導出常用緯度函數應用於求解地圖投影變換，提出了變係數線性插值方法，解決了測量和地圖學中所要求的計算精度問題。文獻[9]利用球體半徑和計算機代數系統對大地測量學和地理信息系統中的問題進行了研究。
從目前來看，前人對這一領域作了很多卓有成效的工作，但主要是針對其中一種或幾種地球半徑進行計算和應用，多是對等角緯度、等面積緯度及等距離緯度的計算與分析[10-15]，很少有文獻將這幾種常用的地球半徑間的差異在符號和數值上進行系統的比較。計算機代數系統可以將基本的數學公式展開成冪級數形式，推導出的公式相對於人工計算具有更高的精確度[16-19]。為豐富對這一問題的研究，使人們對這幾種常用地球半徑形成較直觀的認識，本文著重研究了常用地球半徑間的差異問題，推導出了常用地球半徑間差異符號表達式，最後以CGCS2000參考橢球[20]為例，對常用地球半徑間的差異進行了數值分析和比對，發現平均球半徑和等體積球半徑在等面積地圖投影中可以對等面積球半徑進行替換。
1 常用地球半徑定義
平均曲率半徑Ra常用於製作地球表面上局部地區地圖[21]，也可以取製圖區域中心點，記橢球偏心率為e，則它關於大地緯度B的表達式
(1)
式中，N為卯酉圈曲率半徑；M為子午圈曲率半徑，將其展開成偏心率e的冪級數形式
(2)
式(2)中的係數計算如下
(3)
就地球總體而言，平均球半徑(取地球橢球三軸半軸長的算術平均值，用於簡單決定球半徑)[22]、等面積球半徑(保持球體表面積等於地球橢球面相應全面積而決定的球半徑，主要用於等面積投影)[23]、等距離球半徑(使球面經線總長等於地球橢球面經線總長而決定的球半徑，主要用於等距離投影中)[24]和等體積球半徑(使地球球體的體積等於地球橢球體的體積來決定的球半徑)的表達式與大地緯度B無關，只取決於地球橢球模型的參數a、e，其表達式為
(4)
式中, Re表示平均球半徑；RF表示等面積球半徑；RS表示等距離球半徑；RV表示等體積半徑。
2 常用地球半徑間的差異符號表達式
由於5種常用地球半徑具有一定差異，在實際應用中會用到它們的差值表達式。為了解常用地球半徑間的差異情況，特別是差異最值點及其對應差異最值，可基於它們之間的差值表達式推導出其差異符號表達式。
2.1 平均曲率半徑與4種常用球體半徑間的差異符號表達式
通過對平均曲率半徑與4種常用球體半徑的表達式進行分析，即可推算出其差異符號表達式。以平均球半徑為例
(5)
將式(5)展開成冪級數的形式
(6)
式(6)中係數計算公式為
(7)
從上式中可以看出，在確定地球橢球體參考模型之後可以確定常數值e，此時兩者差值只與大地緯度B有關，由於大地緯度B的取值範圍為，因此cos(2B)的取值範圍為(-1, 1)，即當B取時，兩者差值存在最大值，為方便平均曲率半徑與不同地球半徑差異值的比較，將差異最大值進一步展開成偏心率e的冪級數形式
(8)
當B取0時，存在最小值, 將其最小值進一步展開成偏心率e的冪級數形式
(9)
類似的，將平均曲率半徑與等面積地球半徑、等距離地球半徑和等體積地球半徑分別進行作差，分析結果同平均曲率半徑與平均球半徑差值分析結果：當B取時，兩者差值存在最大值，最大值符號表達式結果列於表 1；當B取0時，兩者差值存在最小值，差異最小值符號表達式結果列於表 2。
表 1 平均曲率半徑與4種常用球體半徑間差異最大值緯度符號表達式Tab. 1 The symbolic expressions of different max value between average radius of curvature and four common sphere radii
ΔR/a差異最大值點差異最大值符號表達式(Ra-Re)/a(Ra-RF)/a(Ra-RV)/a(Ra-RS)/a表 2 平均曲率半徑與4種常用球體半徑間差異最小值緯度符號表達式Tab. 2 The symbolic expressions of different min value between average radius of curvature and four common sphere radii
ΔR/a差異最小值點差異最小值符號表達式(Ra-Re)/a0(Ra-RF)/a0(Ra-RV)/a0(Ra-RS)/a0當平均曲率半徑與平均球半徑相等時，有如下公式
(10)
對式(10)進行整理，略去推導過程，可得
(11)
式(11)中，B0e為平均曲率半徑與平均球半徑相等時的大地緯度，將其展開為偏心率e的冪級數形式
(12)
故採用與平均球半徑類似的方法，推導出它們與平均曲率半徑相等時大地緯度B的符號表達式，最後結果列於表 3。
表 3 平均曲率半徑與4類地球半徑相等時的大地緯度B符號表達式Tab. 3 The equal geodetic latitude symbolic expressions between average radius of curvature and four common sphere radii
ΔR大地緯度BRa-ReRa-RFRa-RVRa-RS
2.2 4種常用球體半徑間的差異符號表達式
為系統地比較各常用球體半徑之間的差異，除對平均曲率半徑與4種常用球體半徑間的差異進行分析以外，需要對其餘4種常用球體半徑間的差異進行分析。以下分別對平均球半徑、等面積球半徑、等距離球半徑和等體積球半徑間的差異進行分析。就地球總體而言，它們的表達式與大地緯度B無關，只取決於地球橢球模型參數a、e，與推導平均曲率半徑和4種常用球體半徑間差異值符號表達式類似，通過作差之後級數展開的形式進行分析(以平均球半徑和等體積球半徑間差異值符號表達式為例)，其差異可以表示為
(13)
將式(13)展開成冪級數的形式
(14)
相對於平均曲率半徑與其餘4種常用球體半徑間差異，它們相互之間的差異就顯得相對簡單。類似的，可以推導出平均球半徑與等面積球半徑、平均球半徑與等距離球半徑、等距離球半徑與等面積球半徑、等距離球半徑與等體積球半徑和等面積球半徑與等體積球半徑間的差異符號表達式，最後結果列於表 4。
表 4 4種常用球體半徑之間的差異符號表達式Tab. 4 The symbolic expressions of different extrema between four common sphere radii
ΔR/a差值符號表達式(Re-RV)/a(RF-RV)/a(Re-RF)/a(RF-RS)/a(Re-RS)/a(RS-RV)/a由表 4可以看出，4種常用球體半徑間的差異只與e有關，它們之間差異值隨著e的增大而增大，且等距離球半徑和等體積球半徑之間的差異最小，平均球半徑和等距離球半徑之間的差異最大。
3 算例分析
為使人們對各地球半徑間的差異在數值上有一個直觀的認識，下面以CGCS 2000參考橢球(a=6 378 137, e=0.081 819 191 042 8)為例，對5種常用地球半徑間的差異進行數值比較與分析。
3.1 平均曲率半徑與4種常用球體半徑間的差異比較
為了解平均曲率半徑與平均球半徑、等面積球半徑、等距離球半徑和等體積球半徑間的差異，可以繪製大地緯度B∈[0°, 90°]，平均曲率半徑與各常用球體半徑的差異曲線圖，如圖 1所示；表 5為大地緯度B∈[0°, 90°]，每隔15°對應的平均曲率半徑與各常用球體半徑間的差異。
圖 1 平均曲率半徑與各常用地球半徑的差異曲線圖Fig. 1 Chart of differences between average radius of curvature and four common sphere radii表 5 平均曲率半徑與各常用球體半徑間的差異Tab. 5 The differences between average radius of curvature and four common sphere radiusm
mB0°15°30°45°60°75°90°Ra-Re-14 256.5-11 404.6-3 599.97 092.317 820.525 697.028 584.9Ra-RF-14 254.9-11 403.0-3 598.47 093.917 822.125 698.628 586.4Ra-RS-10 696.8-7 844.9-4 036.810 651.921 380.129 256.632 144.5Ra-RV-14 248.5-11 396.6-3 592.07 100.217 828.525 705.028 592.8如圖 1、表 5所示，平均曲率半徑與其餘4種常用球體半徑之間差異值隨著大地緯度B∈[0°, 90°]增大而增大，平均曲率半徑與平均球半徑、等面積球半徑和等體積球半徑差異值在所選取的7個點上差異很小，在圖 1上表現為3條曲線幾乎重合成一條曲線。為了便於觀察3條曲線之間的差異，取大地緯度B∈[0°, 1°]範圍內，畫出3條曲線，如圖 2所示。
圖 2 B∈[0°, 1°]內平均曲率半徑與各常用地球半徑的差異曲線圖Fig. 2 Chart of differences between average radius of curvature and four common sphere radii由圖 2可以看出，在1°的變化範圍內，平均曲率半徑與平均球半徑、等面積球半徑和等體積球半徑間差異的變化圖，3條曲線的差異值在10 m以內，可以看出平均球半徑、等面積球半徑和等體積球半徑間相差較小，因此，在實際應用中可以根據需要選擇合適的半徑以避免公式計算和推導過程中的複雜性。
根據已推導出的平均曲率半徑與其餘4種常用球體半徑間的差異符號表達式，可以計算出在大地緯度B∈[0°, 90°]範圍內存在一個點使得兩個半徑相等，即差異值為0。
由圖 1和表 6可以看出，差異曲線與坐標軸的交點即平均曲率半徑與平均球半徑、等面積球半徑、等距離球半徑和等體積球半徑相等的點，具體數值總結於表 6。其中，等距離球半徑和平均曲率半徑相等點的大地緯度在30°3′45.04″，與其餘3個相等點大地緯度相差5°左右，與圖 1反映的差異曲線相符。
表 6 平均曲率半徑與4種常用球體半徑間差異為0時的點大地緯度BTab. 6 The point value of the differences is zero
大地緯度Ra=ReRa=RFRa=RSRa=RVB35°19′31.77″35°19′7.79″30°3′45.04″35°19′35.11″由於平均曲率半徑是隨著大地緯度B逐點變化的，是微觀上的，而4種常用球體半徑是宏觀意義上地球球體的平均值，它們之間定義不同，差異逐點地變化，運用的場合也不同，因此宏觀無法代替微觀上地平均曲率半徑，但在一定程度上，平均曲率半徑與4種常用球體半徑在某一個特殊點上相等，此時它們之間可以互相替代。
3.2 4種常用球體半徑間的差異比較
為全面分析常用地球半徑間的差異問題，現以CGCS2000參考橢球(a=6 378 137, e =0.081 819 191 0)為例，對4種常用球體半徑間的差異進行數值比較與分析，最後結果列於表 7中。
表 7 4種常用球體半徑之間的差異值Tab. 7 The value of different between four common sphere radius
m由表 7可以看出，平均球半徑和等面積球半徑之間的差異值的絕對值最小，平均球半徑和等距離球半徑之間的差異值絕對值最大。由於4種球體半徑是不同意義上定義的球體半徑平均值，因此，它們之間差異很大。等距離球半徑與其餘3種地球半徑差異較大，因此在進行等距離投影時不宜使用其餘地球半徑進行替換；反觀平均球半徑和等體積球半徑與等面積球半徑之間，在CGCS2000參考系下數值相差精度在8 m以內，將平均球半徑、等面積球半徑和等體積球半徑分別代入等面積投影長度比公式中，可以看出，橢球面在球面上的等面積投影的長度變形在赤道處最大，其值分別為±0.111 7%、±0.111 8%和±0.111 9%，由此可見，這3種地球半徑對等面積投影的影響很小。由於等面積球半徑公式較複雜，對於複雜公式計算推導存在一定的困難，因此，在實際應用過程中可以用平均球半徑和等體積球半徑來替代等面積球半徑。
4 結論
本文對5種常用地球半徑間的差異進行了研究，推導出了常用地球半徑間的差異符號表達式，並以CGCS2000橢球為例對它們進行了數值分析和比對，得出如下結論。
(1) 平均曲率半徑與4種常用球體半徑差異值隨大地緯度的增大而增大，差異絕對值隨大地緯度的增大先減小後增大，在某一個特定點處差異值為0。其中，當B取時，存在差異最大值，平均曲率半徑與等距離球半徑間差異最大，差異最大符號表達式的首項為；B取0時，存在差異最小值，平均曲率半徑與平均球半徑間差異值最小，最小值符號表達式的首項為。
(2) 平均曲率半徑是微觀上的平均值，是隨著大地緯度B逐點變化的；4種常用球體半徑是宏觀意義上的地球球體上的平均值，與大地緯度B無關。平均曲率半徑與4種常用球體半徑除在特殊點等價外，其餘點無法進行相互代替應用。
(3) 4種常用球體半徑間，平均球半徑和等面積半徑間的差異絕對值最小，絕對值最小符號表達式的首項為；平均球半徑和等距離半徑之間的差異絕對值最大，絕對值最大值符號表達式的首項為。等距離球半徑與其餘3種地球半徑差異較大，不能相互替代；平均球半徑和等體積球半徑與等面積球半徑之間差異較小，在實際應用過程中可以用平均球半徑和等體積球半徑來替代等面積球半徑。
(4) 將常用地球半徑間差異值表示為符號形式，並統一展開為偏心率e的冪級數形式，該表達式易於比較分析，一定程度上豐富了測量及地圖學數學分析理論。
【引文格式】宗敬文, 李厚樸, 邊少鋒, 等. 常用地球半徑差異符號表達式. 測繪學報，2019，48(2)：238-244. DOI: 10.11947/j.AGCS.2019.20180145