宇宙速度：要多快才能逃離地球？

2020年7月23日，海南文昌衛星發射基地裡，長徵五號運載火箭搭載著火星探測飛船天問一號升空，這標誌著我國的火星探測計劃進入到了一個全新的階段。千百年來，中華民族奔向宇宙的幻想，終於一步步變成了現實。

天問一號發射升空

奔向宇宙的第一步就是逃出地球。你知道物體的速度多快才能擺脫地心引力嗎？今天我們就來介紹一下宇宙速度的知識。本文不光會介紹宇宙速度的含義，還會用簡明扼要的方法介紹它的推導過程，實在是一篇不可多得的好文。

一.第一宇宙速度

牛頓在名著《自然哲學的數學原理》中有一個思想實驗：

在一個小山包上水平發射一枚炮彈，如果炮彈的速度比較小，它就會落回到地面上。如果炮彈的速度比較大，落點就會遠一些。如果速度足夠大，在不考慮空氣阻力的前提下，炮彈就不會落回到地面上，而是會環繞地球做一圈又一圈的圓周運動了。

牛頓大炮

這個環繞地球運動而不落地的炮彈的速度就是第一宇宙速度，也叫做環繞速度：

在地面上以第一宇宙速度水平發射的炮彈，可以成為地球的近地衛星。

為什麼炮彈受到地球的引力，卻不落到地面上呢？我們可以從兩個角度去理解：

首先：炮彈飛出後憑藉慣性勻速直線運動，同時受到了地球的吸引力而發生自由落體，兩個運動的合成可以看作是平拋運動。如果速度比較小，由於自由落體運動，炮彈很快就落地了。可是當速度增大到某個值，炮彈自由落體的運動剛好與地球彎曲的情況一致，炮彈經過一小段勻速直線和一小段自由落體後，到地球表面的距離依然是不變的。

把勻速圓周運動看成勻速直線運動和自由落體運動的合成

炮彈下落了，地球也彎了，它們距離還是不變的。於是，炮彈就能在貼近地面附近做勻速圓周運動了。可見：物體不落地的原因，可以看成是地球引力對物體運動的改變程度與地球表面自身的圓弧程度匹配。

第一宇宙速度的推導過程至少有兩種方法。其一是常見的高中物理課本上的方法：萬有引力充當向心力。

物體在地面附近，會受到指向地心的引力

同時，物體做圓周運動，需要向心力，它與物體的速度有關。

當炮彈圍繞地球做勻速圓周運動時，萬有引力剛好維持勻速圓周運動所需要的向心力，就能計算出第一宇宙速度的大小了：

地球對物體的萬有引力充當了物體勻速圓周運動的向心力

其實，推導第一宇宙速度還有一種十分有趣的方法：假設物體以第一宇宙速度運動，在很短的時間內，經過了勻速直線運動和自由落體運動，又剛好回到出發的高度。此時利用幾何上的相交弦定理也可以得到第一宇宙速度大小。這種方法如下圖所示，留給中學生和物理教師閱讀，這裡不再贅述。

總而言之，如果水平發射一枚炮彈，速度至少達到7.9km/s，才能環繞地球運動不落回到地球表面。可是，這個速度已經達到了20多倍音速，在考慮空氣阻力的情況下，大氣層中幾沒有任何飛行器能夠達到這麼高的速度。無論什麼型號的火箭，發射時的速度都遠遠小於第一宇宙速度。那麼，我們為什麼還能把火箭發射到地球外面呢？

這是因為：第一宇宙速度強調的是沒有動力的炮彈。將炮彈打出去之後，它憑藉慣性運動，如果依然不能落到地面上，就需要速度很快。但是火箭、飛機都是有動力的，火箭通過持續的向下噴氣獲得上升力，飛機通過機翼的壓力差獲得上升力。有了上升力去克服地球的引力，火箭和飛機的速度雖然很慢，卻依然可以環繞地球飛行，甚至飛出地球。太空飛行器發射時，速度並不需要達到第一宇宙速度。

二.第二宇宙速度

如果炮彈的速度比第一宇宙速度大一點，物體所需要的向心力就會大一點，此時物體會圍繞地球做一個橢圓軌道運動。物體出發時速度越大，這個橢圓的遠地點就會越大。

速度比第一宇宙速度稍大，物體做橢圓軌道運動​

如果速度增大到某個值，物體就會脫離地球的引力，以拋物線軌道運動到無限遠處了。

速度達到某值，物體脫離地球

現在讓我們來計算這個擺脫地球引力的速度，我們需要用能量的觀點進行分析：物體在運動時具有動能（與物體的質量和速度有關），兩個物體之間有萬有引力，具有引力勢能（與兩個物體的質量和距離有關）。這兩個能量合起來叫做機械能。在物體和地球相互作用的過程中，機械能的總量是保持不變的。

假設在地面上有一門大炮，以某一個速度發射炮彈，炮彈剛好可以脫離地球引力到達無窮遠處。在無窮遠處，物體的速度為零，所以動能為零。物體與地球距離無窮大，所以引力勢能也為零，因此物體的機械能為零。根據機械能守恆：物體在發射時，機械能也應該為零。

於是，列出地面上和無窮遠處機械能相等的表達式：

大家看，如果物體要脫離地球，所需要的發射速度至少要達到第一宇宙速度的根號2倍，即11.2km/s，這個速度稱為第二宇宙速度。

在地面上以第二宇宙速度發射的炮彈，可以脫離地球引力，成為太陽系的行星。

三.第三宇宙速度

如果這枚炮彈的速度比第二宇宙速度更大，它脫離地球的引力後，還會有一定的速度殘餘，如果殘存的速度小，物體會圍繞太陽做橢圓軌道運動。如果殘存的速度大，物體可能繼續脫離太陽的引力，成為銀河系的行星。如果這枚炮彈真的做到了這一點，它發射時的速度就叫做第三宇宙速度。

在地面上以第三宇宙速度發射的炮彈，可以脫離太陽的引力，成為銀河系的行星。

現在我們來計算這個速度。首先，我們需要在太陽參考系下分析：

太陽參考系下的速度分析

首先，根據第一宇宙速度的相關計算，我們知道地球自身圍繞太陽運動的速度大小為：

再根據第二宇宙速度的計算可知：為了脫離太陽引力，物體需要的速度為：

於是，脫離地球之後，物體需要比地球速度快，殘留速度為：

好了，現在我們需要換回到地球參考系下了。

地球參考系下看物體的運動

炮彈最初以相對於地面的速度v3發射出去，憑藉慣性跑到遠離地球的位置。此時，物體的速度減小了，但是依然有一定的殘留。列出機械能守恆方程：

解這個方程，就可以得到第三宇宙速度的大小：

大功告成！

大家注意，在第三宇宙速度推導的過程中，一定要更換參考系。如果一直使用太陽參考系，就會得出一個很奇怪的數字13.5km/s。有興趣的小夥伴可以自己嘗試一下，並解釋一下為什麼會有錯誤的答案。

當然，我們還可以有第四宇宙速度：在地面上以第四宇宙速度發射的炮彈，可以脫離銀河系的束縛，成為河外的行星。科學家們估計，第四宇宙速度要達到500km/s的量級，實在是太快了。

銀河系

這回給大家講解了宇宙速度的概念，宇宙速度是在忽略一切空氣阻力、飛行器也完全沒有動力的前提下討論出來的理想結果。實際上的太空飛行器既不能也沒有必要達到這個速度。那麼，我們是通過什麼樣的方法，將天問一號發射到火星上去的呢？飛船的軌道是什麼樣的呢？這個問題我們會在下回給大家介紹，一定要點讚關注哦！