第五章：萬有引力定律 人造地球衛星
1．克卜勒行星運動三定律簡介（軌道、面積、比值）
丹麥開文學家克卜勒信奉日心說，對天文學家有極大的興趣，並有出眾的數學才華，克卜勒在其導師弟谷連續20年對行星的位置進行觀測所記錄的數據研究的基楚上，通過四年多的刻苦計算，最終發現了三個定律。
第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運動，太陽則處在這些橢圓軌道的一個焦點上；
第二定律：行星沿橢圓軌道運動的過程中，與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等；
第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等．即
克卜勒行星運動的定律是在丹麥天文學家弟谷的大量觀測數據的基礎上概括出的，給出了行星運動的規律。
2．萬有引力定律及其應用
(1)內容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力大小跟它們的質量成積成正比，跟它們的距離平方成反比，引力方向沿兩個物體的連線方向。
（1687年）
叫做引力常量，它在數值上等於兩個質量都是1kg的物體相距1m時的相互作用力，1798年由英國物理學家卡文迪許利用扭秤裝置測出。
萬有引力常量的測定——卡文迪許扭秤
實驗原理是力矩平衡。
實驗中的方法有力學放大（藉助於力矩將萬有引力的作用效果放大）和光學放大（藉助於平面境將微小的運動效果放大）。
萬有引力常量的測定使卡文迪許成為「能稱出地球質量的人」：對於地面附近的物體m，有（式中RE為地球半徑或物體到地球球心間的距離），可得到。
定律的適用條件：嚴格地說公式只適用於質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠遠大於物體本身的大小時，公式也可近似使用，但此時r應為兩物體重心間的距離．對於均勻的球體，r是兩球心間的距離．
當兩個物體間的距離無限靠近時，不能再視為質點，萬有引力定律不再適用，不能依公式算出F近為無窮大。
注意：萬有引力定律把地面上的運動與天體運動統一起來，是自然界中最普遍的規律之一，式中引力恆量G的物理意義是：G在數值上等於質量均為1kg的兩個質點相距1m時相互作用的萬有引力．
(3)地球自轉對地表物體重力的影響。
重力是萬有引力產生的，由於地球的自轉，因而地球表面的物體隨地球自轉時需要向心力．重力實際上是萬有引力的一個分力．另一個分力就是物體隨地球自轉時需要的向心力，如圖所示，在緯度為的地表處，萬有引力的一個分力充當物體隨地球一起繞地軸自轉所需的向心力F向=mRcos·ω2（方向垂直於地軸指向地軸），而萬有引力的另一個分力就是通常所說的重力mg，其方向與支持力N反向，應豎直向下，而不是指向地心。
由於緯度的變化，物體做圓周運動的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極R逐漸減小，向心力mRcos·ω2減小，重力逐漸增大，相應重力加速度g也逐漸增大。
在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和m2g剛好在一條直線上，則有F＝F向＋m2g，所以m2g=F一F向＝G－m2Rω自2。
物體在兩極時，其受力情況如圖丙所示，這時物體不再做圓周運動，沒有向心力，物體受到的萬有引力F引和支持力N是一對平衡力，此時物體的重力mg＝N＝F引。
綜上所述
重力大小：兩個極點處最大，等於萬有引力；赤道上最小，其他地方介於兩者之間，但差別很小。
重力方向：在赤道上和兩極點的時候指向地心，其地方都不指向地心，但與萬有引力的夾角很小。
由於地球自轉緩慢，物體需要的向心力很小，所以大量的近似計算中忽略了自轉的影響，在此基礎上就有：地球表面處物體所受到的地球引力近似等於其重力，即≈mg
說明：由於地球自轉的影響，從赤道到兩極，重力的變化為千分之五；地面到地心的距離每增加一千米，重力減少不到萬分之三，所以，在近似的計算中，認為重力和萬有引力相等。
基本方法：衛星或天體的運動看成勻速圓周運動，F萬=F心(類似原子模型)
方法：軌道上正常轉：
地面附近：G=mg GM=gR2(黃金代換式)
（1）天體表面重力加速度問題
通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩者相等，即m2g＝G，g=GM/R2常用來計算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM/（R+h）2，比較得gh=（）2·g
設天體表面重力加速度為g，天體半徑為R，由mg=得g=，由此推得兩個不同天體表面重力加速度的關係為
（2）計算中心天體的質量
某星體m圍繞中心天體m中做圓周運動的周期為T，圓周運動的軌道半徑為r，則：
由得：
例如：利用月球可以計算地球的質量，利用地球可以計算太陽的質量。
可以注意到：環繞星體本身的質量在此是無法計算的。
（3）計算中心天體的密度
ρ===
由上式可知，只要用實驗方法測出衛星做圓周運動的半徑r及運行周期T，就可以算出天體的質量M．若知道行星的半徑則可得行星的密度
（4）發現未知天體
用萬有引力去分析已經發現的星體的運動，可以知道在此星體附近是否有其他星體，例如：歷史上海王星是通過對天王星的運動軌跡分析發現的。冥王星是通過對海王星的運動軌跡分析發現的。
這裡特指繞地球做勻速圓周運動的人造衛星，實際上大多數衛星軌道是橢圓，而中學階段對做橢圓運動的衛星一般不作定量分析。
1、衛星的軌道平面：由於地球衛星做圓周運動的向心力是由萬有引力提供的，所以衛星的軌道平面一定過地球球心，球球心一定在衛星的軌道平面內。
2、原理：由於衛星繞地球做勻速圓周運動，所以地球對衛星的引力充當衛星所需的向心力，於是有
實際是牛頓第二定律的具體體現。
3、表徵衛星運動的物理量：線速度、角速度、周期等：
（1）向心加速度與r的平方成反比。
=當r取其最小值時，取得最大值。
a向max==g=9.8m/s2
（2）線速度v與r的平方根成反比
v=∴當h↑，v↓
當r取其最小值地球半徑R時，v取得最大值。vmax===7.9km/s
（3）角速度與r的三分之三次方成百比
=∴當h↑，ω↓
當r取其最小值地球半徑R時，取得最大值。max==≈1.23×10－3rad/s
（4）周期T與r的二分之三次方成正比。
T=2∴當h↑，T↑
當r取其最小值地球半徑R時，T取得最小值。
Tmin=2=2≈84min
衛星的能量：(類似原子模型)
r增v減小(EK減小<Ep增加)，所以E總增加;需克服引力做功越多，地面上需要的發射速度越大
應該熟記常識：
地球公轉周期1年，自轉周期1天=24小時=86400s，地球表面半徑6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8m/s2月球公轉周期30天
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