#數學科學#對於全體正整數，每個正整數要麼是單數，要麼是雙數，即全體正整數由正奇數和正偶數組成。而在這些單數或雙數中，如果它們除了能被1和它本身整除之外，還能被其它正整數整除，那麼，這些單數或雙數都是合數，如4=1x4=2ⅹ2，9=1ⅹ9=3x3，顯然，合數不能小於4。
可以看出，對於任一合數m，都存在大於或等於2，且小於或等於m/2的正因數(因為每個因數都大於或等於2，而它們的乘積為m)，所以，可設m=kn(k、n均不小於2，且都是不大於m/2的整數)，由於k、n都可取不小於2的無窮多個整數值，所以，當k=2時，n可取2、3、4…設其個數為s，顯然s+∞；當k=3時，由於n′(為了與n區分，也滿足m=kn＇)取2、3、4…時，滿足3n′=2n(即n=3n′/2，n＇必須是2的倍數)的重複合數統統略掉，即n＇=2、4、6、8…時。由於大於2的單數也有無窮多個，所以，滿足m=3n＇的合數也有無窮多個……總之，全體合數一定有無窮多個。
而素數又叫質數，是指在正因數(也叫正約數，當整數a除以正整數b的商正好是整數，且餘數為0時，稱b是a的正因數)範圍內，每個素數的正約數只能是1和它本身，且它本身不能等於1，即必須大於1，也即任一質數僅有兩個正因數，且一個因數是1，另一個因數一定大於1，否則，對於任一合數，如最小合數4=2x2=1x2ⅹ2=1x1x2x2=1x1x1x2x2……這就會導致任一合數在分解質因數時，分解得不唯一，所以，素數不包括1，即最小的素數只能是2。
由於素數也是正整數家族的一類成員，所以，對於任一素數，它要麼是單數，如3、5、7，要麼是雙數，如2，即素數包括奇素數和偶素數。
雖然正整數有無窮多個，且合數也有無窮多個，但不能確定素數是否有無窮多個，所以需要證明。
假設素數個數有限，設最大的素數為p，令q=2x3x5x7x…ⅹp+1，即為所有的素數乘積加1。若q為素數，則q﹥p，這與p為最大的素數矛盾。若q為合數，則它必然存在大於或等於2的正因子q0，若q0為素數，由於q與從2到p的所有素數相除後，餘數為1，即q不能被這些素數整除，所以q0>p，這也與p為最大的素數矛盾；若q0為合數，即q0能分解質因數，設其中一個質因數為p＇，又由於q0是q的因子，所以p＇也是q的一個素因子，而q不能被從2到p的所有素數整除，所以，p＇>p，這仍與p為最大的素數矛盾。因此，素數也有無窮多個。
如果把全體自然數看成一幢無窮高的高樓大廈，把0看成地基，1看成基礎，2以上的所有素數就是抗拉、抗壓等強度極高的鋼筋，因為它們在拆除時依舊完好無缺，不會被「分解」。4以上的所有合數由於都能分解質因數，就好比磚、混凝土、瓷磚、門窗、燈具等建材在拆除時容易被打碎「分解」。可見，素數就是整幢自然數大廈的骨架，十分重要，每個大於1的正整數都必含質因數。
由於數學科學是自然科學的皇冠，而數論又是數學科學的皇冠，所以，素數就是皇冠的基本骨架。況且，我們自記事起就開始接觸算術，即都是從最簡單的數數開始的，它與我們的淵源最深。因此，提高數論乃至全部數學素養，不僅能快速提高我們的邏輯思維能力，進一步提高認識世界和改造世界的能力，還能為未來的幸福美好生活奠定堅實的精神數學基礎！