最近在看三角函數，偶然看到了一個陌生又熟悉的圖形，盯著看了半天，琢磨了生成的方式，才想起來是利薩如圖形（Lissajous-Figure），你會 看這幅動態度看半天？
（該圖原作者Matrix67）
利薩如圖形
利薩如圖形（Lissajous-Figure），由在互相垂直的方向上的兩個頻率成簡單整數比的簡諧振動所合成的規則的、穩定的閉合曲線。其參數方程為：
x = a sin(mt)
y = b sin(nt+φ)
調整a、b、以及n/m的值，可以得到不同的美圖
（上圖為a=b=1，m = 13, n = 18 時的利薩如圖形）
特殊的，考慮 a = b = 1，來看n/m對曲線形狀的影響：
（1）參數方程 x = sin(t)，y = sin(t)，退化為一段線段（直線y=x，在x∈[-1,1]區間的線段）：
（2）參數方程 x = sin(t)，y = sin(t+φ)，其中φ = π/2，曲線是我們熟悉的圓：
（3）參數方程 x = a sin(t)，y = b sin(t+pi/2)，曲線就變成了橢圓（a=1, b=1/2）：
（4）參數方程 x = sin(t)，y = sin(2t - pi/2)，曲線就變成了拋物線的一部分：
（4）參數方程 x = sin(t)，y = sin(2t - pi/4)，跟上圖相比只是相位差不同，曲線就變成下面的樣子，類似一個雙紐線（看出一些立體感，像是個馬鞍面邊緣的投影）：
（5）參數方程 x = sin(7t)，y = sin(22t )，我們取n/m等於圓周率的疏率（22/7），曲線的樣子：
（6）參數方程 x = sin(37t)，y = sin(36t )，在x∈[-1,1]，y∈[-1,1] 的正方形內點已經足夠稠密，是否引發了你的密集恐懼症：
（7）參數方程 x = sin(113t)，y = sin(355t )，在x∈[-1,1]，y∈[-1,1]的正方形內已經看不清楚曲線了，感受一下：
（8）可以想見，當n/m為無理數時，曲線將在正方形內足夠稠密，我們看到的將是一個全紅的正方形啦。
彩蛋：三角函數
1、三角函數，正弦和餘弦的追逐遊戲，我們看到三角函數是單位圓上的某點繞圓心（坐標原點）按一定的角速度旋轉時，在平面直角坐標系兩軸上投影的坐標：
（圖片來源於LucasVB 1ucasvb）
2、而我們把一堆單位圓放在一起，不同圓上的點開始旋轉的時間不同（相位差），就會有下面的效果，有沒有波濤洶湧的感覺？
（圖片來自網絡）