正態分布為什麼常見

作者：阮一峰

連結：

http://www.ruanyifeng.com/blog/2017/08/normal-distribution.html

編輯：石頭

統計學裡面，正態分布（normal distribution）最常見 。男女身高、壽命、血壓、考試成績、測量誤差等等，都屬於正態分布。

以前，我認為中間狀態是事物的常態，過高和過低都屬於少數，這導致了正態分布的普遍性。最近，讀到了 John D. Cook 的文章，才知道我的這種想法是錯的。

正態分布為什麼常見？真正原因是中心極限定理（central limit theorem）。

"多個獨立統計量的和的平均值，符合正態分布。"

上圖中，隨著統計量個數的增加，它們和的平均值越來越符合正態分布。

根據中心極限定理，如果一個事物受到多種因素的影響，不管每個因素本身是什麼分布，它們加總後，結果的平均值就是正態分布。

舉例來說，人的身高既有先天因素（基因），也有後天因素（營養）。每一種因素對身高的影響都是一個統計量，不管這些統計量本身是什麼分布，它們和的平均值符合正態分布。（注意：男性身高和女性身高都是正態分布，但男女混合人群的身高不是正態分布。）

許多事物都受到多種因素的影響，這導致了正態分布的常見。

讀到這裡，讀者可能馬上就會提出一個問題：正態分布是對稱的（高個子與矮個子的比例相同），但是很多真實世界的分布是不對稱的 。

比如，財富的分布就是不對稱的，富人的有錢程度（可能比平均值高出上萬倍），遠遠超出窮人的貧窮程度（平均值的十分之一就是赤貧了），即財富分布曲線有右側的長尾。相比來說，身高的差異就小得多，最高和最矮的人與平均身高的差距，都在30%多。

這是為什麼呢，財富明明也受到多種因素的影響，怎麼就不是正態分布呢？

原來，正態分布只適合各種因素累加的情況，如果這些因素不是彼此獨立的，會互相加強影響，那麼就不是正態分布了。一個人是否能夠掙大錢，由多種因素決定：

家庭

教育

運氣

工作

...

這些因素都不是獨立的，會彼此加強 。如果出生在上層家庭，那麼你就有更大的機會接受良好的教育、找到高薪的工作、遇見好機會，反之亦然。也就是說，這不是 1 + 1 = 2 的效果，而是 1 + 1 > 2。

統計學家發現，如果各種因素對結果的影響不是相加，而是相乘，那麼最終結果不是正態分布，而是對數正態分布（log normal distribution），即 x 的對數值log(x)滿足正態分布 。

這就是說，財富的對數值滿足正態分布。如果平均財富是10,000元，那麼1000元～10,000元之間的窮人（比平均值低一個數量級，寬度為9000）與10,000元~100,000元之間的富人（比平均值高一個數量級，寬度為90,000）人數一樣多。因此，財富曲線左側的範圍比較窄，右側出現長尾。

參考連結

Why isn't everything normally distributed?, by John D. Cook

Achievement is not normal, by John D. Cook