傅立葉變換、頻域的簡明理解

電磁波、腦電波、聲音、圖像，這些現象的背後，都是振動，振動有頻率、振幅、相位這三個要素。泛一點講，世間一切都是振動，都是波。所有才有了弦論，用最微小的構造，就是振動的弦，來構建這個宏大的宇宙的世界觀。

你沒感覺身體哪處正在振動，但腦電波是實實在在的。你看得到紅綠色，看不到紅外線，是因為光的振動頻率不同，你能聽見並區分同時幾個人說話的聲音，也是因為聲波的振動頻率不同。

而傅立葉變換為我們打開了一扇門，一扇與真理相通的大門，透過傅立葉變換，就能理解這宇宙萬物背後的運行規律。

一、傅立葉級數---周期函數的正交基分解：

1、標準正交基。就像二維笛卡爾坐標，一個點，總是可以表示為（x，y），橫縱方向的值；三維空間任何一點，總是可以表示為（x,y,z）,推廣下，任意N維的值，總是可以分解成N個正交基的（x1,x2,……xN）

2、法國數學家傅立葉發現，任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示（選擇正弦函數與餘弦函數作為基函數是因為它們是正交的）

3、給定一個周期為T的函數x(t)，那 麼它可以表示為無窮級數，就是表現為標準無限維正交基的和

傅立葉級數公式

這個式子需要數學證明嗎？不需要，因為上面兩個式子是構造出來的，已經邏輯自洽了。但這並非對所有x(t)都適用。因為上面的ak要能得出來，需要積分可積等條件---狄裡赫利條件：

（1）函數在任意有限區間內連續，或只有有限個第一類間斷點（當t從左或右趨於這個間斷點時，函數有有限的左極限和右極限）

（2）在一個周期內，函數有有限個極大值或極小值。

（3）x(t)在單個周期內絕對可積，即

可積條件

4、把這些周期函數，搞成傅立葉級數形式，就相當於對信號進行了方向上的分解，把各個正交方向上的分量分離了出來，分離後，大家就可以抽取出自己想要的方向，進行專門的分析了。不過傅立葉級數用處不大，自然界的信號，嚴格周期化的不多，所以需要推廣到非周期的處理。

二、傅立葉變換---非周期函數的正交基分解：

這個分成兩類，一個是連續函數的傅立葉變換，一個是離散函數的傅立葉變換

連續傅立葉變換公式：

連續傅立葉變換

離散傅立葉變換公式（Discrete Fourier Transform，縮寫為DFT）：

離散傅立葉變換

上面公式順理成章，沒啥特別的，不過也要滿足函數信號充分可積的要求。這些公式都是自洽，不需要額外做證明的，一個公式套入另一個公式，就證明了這種分解的正確性。

1、傅立葉變換，與自然實驗匹配，將一個函數信號，進行正交分解後，分成了多個方向上的分量

2、通過濾波，可以去除自己不想要的正交分量上的數據，提取出自己想要的正交分量上的數據。

三、傅立葉變換的採樣

採樣在傅立葉理論中非常重要，現在是數字資訊時代，你不可能去傳輸一個連續信號，而是要將信號先採樣，然後再編碼並傳輸出去，那採樣頻率應該多少，才不會丟失信息呢？

Nyquist（奈奎斯特）採樣定律：

在進行模擬/數位訊號的轉換過程中，在一個信號周期內當採樣頻率大於信號中最高頻率的2倍時，採樣之後的數位訊號完整地保留了原始信號中的信息。

再舉一個通俗的比喻，男生聲音頻率較低，在時域波形上，波動就不會很劇烈（劇烈代表頻率高），採樣的時候，只要高於這個男生頻率的兩倍，採集信息就可以了。

四、連續傅立葉變換的擴展，拉普拉斯變換，S域分析

f(t) 函數經常不滿足可積的條件，於是給這個函數乘一個衰減因子，使得其可積。

拉普拉斯變換

因為拉普拉斯變換是用符號S作為頻域符號，所以在頻域分析就變成S域分析。

五、離散傅立葉變換的擴展，Z變換

Z變換與拉普拉斯變換一樣，也是為了解決累加不收斂的問題，加了一個因子，

z變換

當z的模為1時，x[n]的Z變換即為x[n]的離散傅立葉變換

六、總結

現實生活中，有些信號是在時域表現清晰，有些信號確是在頻率才能表現出規律，所以傅立葉變換，給我們提供了一個全新的維度頻域去理解世界，而這個頻域的維度，恰恰是與生命、宇宙的本來面目想對應的。