李倩 發表於 2018-03-12 09:41:20
說起傅立葉變換，大部分科班出身的都上過課，但真正深入理解的，很少，用的起來的，就更少了。
傅立葉變換，本質上就是用一組特徵量來對一個信號的一種描述。比如我們描述一個人，就是把一個人從地球上70億人口唯一的表達出來，於是我們引入了一組特徵量：
1、國籍，這樣就約束在中國12億人口內了
2、省份，大概約束在1億以內了
3、縣市，千萬級別了
4、鄉鎮，最多也就是百十萬
5、街道，那就是以萬、千為記了
6、門牌號，就剩下一口幾個人了
7、姓名
這個就是，它唯一的表達了一個有限量70億分之一。
那麼還有其他的表達方式，用來描述這個人，比如賈伯斯，就問70億人，誰是賈伯斯，大家都是知道，設計iPhone的那個人。但對於一般人來說，我們常用的是，身材、臉型，這些就可以把他從70億裡面明確出來了
所以確定一個人，一個70億分之一的人，方法有很多種，如從地域區分、相貌區分、能力區分、口音區分、貢獻區分等等，可以有無限多種方式。
那麼我們就明白了一點，一個信號，只要它是有限的，同樣，也是可以如同人一樣，可以有很多的方式表達它的，並且能夠表達它的唯一性，那麼這個就要從數學上推理，跟人類比
1、一個信號，它必須是有限量的，若它是無限的，那麼誰都描述不了，所以我們要描述的，都是具體的有限的信號。
2、必須要有一套可以用來描述這個信號的一系列的完備的（數學上往往是無限的）、獨立不相關的特徵，因為我們要描述的是任意一個人，而不是賈伯斯，所以必須要有一整套的特徵體系。那麼從數學上，就要構建一套這樣的特徵信息出來，其中，cos（nwt）、sin(nwt),n從1到無窮，這一套三角函數，就完備的滿足了條件。需要注意的是，數學上必須要證明這些cos(nwt)和sin(nwt)組合起來的三角函數系必須能夠描述任意的曲線，這個就是靠高數裡面的級數展開證明的。
3、把信號與參考的這整套特徵比對，把信號在這套特徵上的分量都表示出來即可，這個就如同三維坐標，一個點投影在其上面，於是就有了X、Y、Z三個坐標，只是三維坐標是一套有限的直角坐標，現在換成了一套無限的三角函數坐標罷了。
4、三角函數坐標，是傅立葉先發明的，所以以他的名字來命名。
最後結論，傅立葉變換本質上就是一個有限的信號量在無限維三角坐標系下的投影，因為信號不是一個點，而是一個曲線，所以不能以有限的直角坐標來描述。
現在流行的3G的擴頻，採用了另外一套數位化的坐標，類似傅立葉變換，叫沃爾什函數，今後將在GSM與CDMA區別中介紹。
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