距離是數學中的基礎概念之一，也是多元數據分析、機器學習方法（如聚類分析、判別分析等）中的重要概念之一。距離的定義很多，在數學上只需滿足三個基本條件即可以稱為距離，即非負性、對稱性和三角不等式性質。
我們最熟悉的莫過於歐幾裡得（Euclid）距離（簡稱歐氏距離），但距離還有很多其他定義方式，在不同情形下有不同的應用。本文介紹一下另外兩種常用的距離定義：閔可夫斯基（Minkowski）[1]距離（簡稱閔氏距離）和馬哈拉諾比斯[2]（Mahalanobis）距離（簡稱馬氏距離），它們都可以看作是歐氏距離的推廣。
注意上式的兩種不同表達方式，第一種是用各分量顯式表達出計算公式來，第二種是利用向量點乘運算表達，正是從這兩種不同表達形式分別推廣出了閔氏距離和馬氏距離。
一. 閔氏距離
定義名稱來源於紐約曼哈頓區整齊規範的街區。
切比雪夫距離來源於西洋棋，國王可以直行、橫行、斜行，所以國王走一步可以移動到相鄰8個方格中的任意一個。國王從一個格子走到另一個格子最少需要多少步？這個距離就叫切比雪夫距離。
二. 馬氏距離
最後一行表達式恰好為馬氏距離的定義，即馬氏距離實質上就是標準化向量的歐氏距離。標準化過程消除了原始變量之間的相關性。
馬氏距離不受量綱的影響，兩點之間的馬氏距離與原始數據的測量單位無關，同時還可以排除變量之間的相關性的幹擾。所以在多元統計分析中一般採用馬氏距離。但是，另一方面，馬氏距離誇大了微小變量的作用。同時由於馬氏距離與協方差矩陣求逆有關，因此協方差矩陣的不確定性往往容易導致無法準確計算出馬氏距離。
注意到AO和BO的歐氏距離相同，這符合我們的直觀。然而AO和BO的馬氏距離卻差異如此之大，還是有點出乎意料的，怎麼理解呢？前面我們看到過，馬氏距離考慮了變量之間的相關性，這裡二維總體的兩個分量具有強的負相關性，即在BO方向上強相關。可以理解為是B（包含B的小鄰域，下同）和O同時出現的概率要遠遠大於A和O同時出現的概率，既然A和O很難同時出現，所以它們的距離相應的就比能經常相見的B和O的距離遠一些，是不是很合理？借用蘇東坡寫給其弟的一句詩——「咫尺不相見，實與千裡同」，用在這裡也是很貼切的了。
三. 在軟體中計算距離的函數
在Matlab和R中都有方便的計算距離的函數。
1. Matlab中計算距離的函數為：pdist()
D = pdist(X)D = pdist(X,distance)Description
D= pdist(X) 計算 X 中各對行向量的相互距離(X是一個m-by-n的矩陣). 這裡 D 要特別注意，D 是一個長為m(m–1)/2的行向量。可以這樣理解 D 的生成：首先生成一個 X 的距離方陣，由於該方陣是對稱的，令對角線上的元素為0，所以取此方陣的下三角元素，按照Matlab中矩陣的按列存儲原則，此下三角各元素的索引排列即為(2,1), (3,1), ..., (m,1), (3,2),..., (m,2), ..., (m,m–1)。可以用命令 squareform(D) 將此行向量轉換為原距離方陣。
D= pdist(X,distance)使用指定的距離distance可以取下述值：
（1）'euclidean'：歐氏距離 Euclidean distance
（2）'seuclidean'：標準化歐氏距離 Standardized Euclidean distance
（3）'mahalanobis'：馬哈拉諾比斯距離 Mahalanobis distance
（4）'cityblock'：曼哈頓距離(城市街區距離) City block metric
（5）'minkowski'：閔可夫斯基距離 Minkowski metric
（6）'chebychev'：切比雪夫距離 Chebychev distance
另外可選的還有夾角餘弦距離 Cosine distance ('cosine')，相關距離 Correlation distance ('correlation')，漢明距離 Hamming distance ('hamming')， Spearman distance ('spearman')等等。
2. R中計算距離的函數為：dist( )
dist(x, method ="euclidean", diag = FALSE, upper = FALSE, p = 2)其中x是數值矩陣，數據框（data frame）或"dist"對象，method用來設置距離名稱，可選項包含"euclidean"，"maximum"，"manhattan"， "canberra"， "binary"以及"minkowski"等。
[1] 閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864 - 1909）出生於俄國。父親是一個成功的猶太商人，但是當時的俄國政府迫害猶太人，所以當閔可夫斯基八歲時，父親就帶全家搬到普魯士的 Konigsberg (哥尼斯堡)定居，和另一位數學家希爾伯特（Hilbert）的家僅一河之隔。曾為愛因斯坦的老師，閔可夫斯基時空為廣義相對論的建立提供了框架。為紀念閔可夫斯基，第12493號小行星以他的名字「閔可夫斯基」命名。
閔可夫斯基趣事一則
在希爾伯特傳記《希爾伯特---數學世界的亞歷山大》中記錄了閔可夫斯基的一則趣事。
閔可夫斯基曾在哥廷根大學講授拓撲學（1902年前後），有一次在課上，閔可夫斯基提到了這個領域裡一個尚未解決的著名問題——四色定理。他說：「這個定理還沒有得到證明，但這是因為到現在為止，只有一些第三流的數學家對它進行過專門研究。」閔可夫斯基以一種少有的自負向全班學生宣稱：「我相信我能夠證明它。」
他當場開始證明這條定理這堂課結束時，他沒有證出來。到下一次課時，他又繼續證明。就這樣，一連幾個星期過去了。最後在一個陰雨的早晨，閔可夫斯基走進教室，這時恰有一道閃電，空中雷聲大作。他站在講臺上，面朝著大家，溫和的圓臉顯出一副深沉、嚴肅的表情。
「老天也被我的驕傲激怒啦，」他說，「我對四色定理的證明也是不完全的。」接著他就從數周前中斷的地方開始繼續講拓撲學。
[2] 馬哈拉諾比斯（Mahalanobis, P. C.，1893 - 1972），印度數理統計學家。馬哈拉諾比斯在加爾各答獲物理學士學位以後，赴英國劍橋大學學習。1914年通過數學榮譽學位I考試，1915年通過自然科學榮譽學位B考試，並被選為高級研究人員。馬哈拉諾比斯曾是英國皇家學會會員。1931年，他創立了印度統計學會，並任主席。
馬哈拉諾比斯主要研究數理統計學和經濟規劃。1930年引人了Dz統計量，後來稱為馬哈拉諾比斯距離，在分類問題中有廣泛應用。他在20世紀 30年代和40年代，主要從事氣象統計、與後來發展起來的運籌學有關的問題、場試驗誤差及大樣本調查等課題的研究。他1944年引入的試驗調查概念是序貫分析的先驅，並給出了估計方法。