一．定理介紹
阿波羅尼奧斯（約公元前262﹣190年），古希臘數學家，與歐幾裡得、阿基米德齊名．他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它可以說是代表了希臘幾何的最高水平，自此以後，希臘幾何便沒有實質性的進步．直到17世紀的B帕斯卡和R笛卡兒才有新的突破．阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關係，即三角形一條中線兩側所對邊平方和等於底邊一半的平方與該邊中線平方和的2倍．
下面該定理的證明過程．
定理的推論2的證明如下：如圖，連接AC，BD交於點O，連接OP，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO，
根據阿波羅尼奧斯定理得：PA2+PC2＝2（OA2+PO2），PB2+PD2＝2（OB2+PO2），∴PA2+PC2＝PB2+PD2．
定理最一般情形：
斯圖爾特定理：如圖，在△ABC中，P是BC上一點，記AB=c，BC=a，CA=b，AP=d，BP=m，PC=n，則有：mb+nc=a（d+mn）。
證明如下：
這個定理由蘇格蘭數學家Matthew Stewart在1746年發表，它有很多一般形式。比如：當P是中點的時候，就有了巴布斯定理和阿波羅尼奧斯定理；當AP是角平分線的時候，就有了角平分線長公式。另外，當A、B、C三點共線的時候，斯圖爾特定理也是成立的，有興趣的讀者可以自行思考一下。
二．理解運用
1.在△ABC中，點D為BC的中點，AB＝6，AC＝4，BC＝8，則AD＝______；
2.如圖2，⊙O的半徑為6，點A在圓內，且OA＝2√2，點B和點C在⊙O上，且∠BAC＝90°，點E、F分別為AO、BC的中點，則EF的長為______；
解：如圖2中，∵AF是△ABC的中線，EF是△AEO的中線，OF是△BOC的中線，
三．拓展延伸
3.如圖3，已知⊙O的半徑為5√5，以A（﹣3，4）為直角頂點的△ABC的另兩個頂點B，C都在⊙O上，D為BC的中點，求AD長的最大值．
分析：如圖3中，連接OA，取OA的中點E，連接DE．利用中線定理求出DE，再利用三邊關係即可解決問題；
【解答】如圖4中，連接OA，取OA的中點E，連接DE．
【點評】本題考查圓綜合題、中線定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用勾股定理解決問題，學會用轉化的思想思考問題，學會添加輔助線解決問題，屬於中考壓軸題．
四．教學啟發
中考是初中教學的指揮棒，研究、分析中考試題對教學有著重要的指導意義。研究近幾年的中考數學試題，把握中考命題的方向和脈搏，對落實新課程標準，有效地組織數學課的教學和初三備考複習，同樣也有著重要的指導意義。
陶行知先生曾說過：「教育必須做到解放學生的眼睛，讓他們親自看一看；解放學生的大腦，讓他們親自想一想；解放學生的嘴巴，讓他們親自說一說；解放學生的雙手，讓他們親自做一做。」我們認為，這是對素質教育的最佳詮釋。回歸教育本原、貼近學生數學化發展需求，是全面實施數學素質教育的根本所在。中考命題中如何從具體情境中抽象出數學材料，並將獲得的材料符號化，體現了數學問題源於教學但高於教學的教學理念，使試題始終散發著「數學味」，促進學生個性得充分發展一直是各地命題專家關注的熱點。
近年來中考數學命題有些題目來源於數學經典名題，體現了數學的應用價值，有利於在中學數學教育中激發學生學習數學的熱情，提高對數學價值的認識，提升數學素養，對中學的素質教育有很好的導向和促進作用。
這一命題特色表明，考題重視對學生運用所學知識分析、解決實際問題的能力，反映了課標對學生「知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀方面」的基本要求。這樣的試題有助於學生拓寬思維空間，便於學生創造性地發揮。複習時應應注意關注經典命題為背景的題目，這樣在考試時能取得更加滿意的成績。
總之，在備複習考時，教師應重視引導學生對基礎知識的理解，注重知識與實際的聯繫，注重實踐應用及動手能力的訓練，突出對數學思想方法的落實，兼顧數學閱讀分析能力的培養，關注各個領域之間的聯繫與整合應用，切實掌握數學基本研究方法，領悟思想方法，對同一問題能舉一反三、融會貫通，在中考中取得優異的成績。