| 彭實戈院士：倒向隨機微分方程理論在金融決策中的應用 |
決定論曾長期在科學界佔統治地位，相應的數學體系始於牛頓—萊布尼茨的微積分和微分方程理論。但人們逐漸認識到，世界本質上是隨機的，處處充滿著不確定性。
日本數學家伊藤清（Ito）在1942年開創的隨機微積分和隨機微分方程理論是對隨機現象進行定量分析和研究的最重要的數學工具。這個理論被譽為「隨機王國中的牛頓定律」。
但是與牛頓—萊布尼茨的微分方程相比，Ito型隨機微分方程理論有一個重要缺憾：它本質上是正向的——只能根據現在的數據計算將來的可能狀態；不能根據將來的可能狀態倒向現在。
然而，倒向的隨機問題在現實，尤其是金融市場中被大量涉及。
為彌補這一缺憾，全世界的數學家進行了大量的工作。數理金融學家們曾用了70多年的時間來解決期權定價這樣一個倒向的隨機問題，其中一例就是著名的Black-Scholes公式。雖然當時並不知道，但Black、Scholes和Merton於1973年獲得的期權價格方程其實就是一個特殊的線性倒向隨機微分方程，它的解即Black-Scholes公式。Scholes和Merton因此獲得了1997年諾貝爾經濟學獎，而Black不幸在獲獎前便去世了。
6月26日，金融統計學家彭實戈院士在中科院第十四次院士大會學術年會上作了題為《倒向隨機微分方程、非線性數學期望和G-布朗運動》的報告，介紹了倒向的、非線性的隨機計算方法，利用這些方法，人們可以作出更穩健的金融決策。
20世紀90年代初，受隨機最優控制理論中對偶過程的啟發，彭實戈和法國同事建立起了倒向隨機微分方程理論。
「理論建立之初，我本人也像大多數第一次見到這個方程的人一樣，對這種與擴散時間指向相反的方程的解感到大惑不解。但這更激起了我對這種奇特現象的好奇心。」彭實戈說，雖然Black-Scholes-Merton的期權價格方程實際上是一個特殊的線性倒向隨機微分方程，但在更一般的假設下，期權價格則需要用非線性的倒向隨機微分方程來描述。
基於對量子力學中Feynman路徑理論的研究，數學家Kac在1951年獲得了概率論與線性二階偏微分方程關係的著名的Feynman-Kac公式，它成為現代概率論一個重要的基礎性成果。
「但是一個非常基礎但是長期以來進展甚小的數學問題是：Feynman-Kac 公式能不能推廣到非線性？」彭實戈問道。他曾長期思索這個問題，結果，他和同事通過倒向隨機微分方程出人意料地發現和證明了：一大類二階非線性偏微分方程的解可以通過倒向隨機微分方程的解來表示，而其線性情況就是Feynman-Kac公式。
很多文章都稱這個結果為「非線性Feynman-Kac公式」。「而這個結果的更深層的含義則是：一個倒向隨機微分方程實際上可以視為一種路徑依賴的偏微分方程，由於在現代金融市場中有各類形形色色的路徑依賴的期權，相應的期權定價問題所對應的倒向隨機微分方程就是這類路徑依賴的偏微分方程。」彭實戈解釋道。
數學大師柯爾莫哥洛夫1933年建立的現代概率論已被廣泛應用到不同領域，這個理論的本質是：數學期望是線性的。為了克服線性期望在解釋經濟現象時的不足，曾有許多數學家與經濟學家致力於研究非線性數學期望。
彭實戈等人1997年引入了g-期望以及條件g-期望的概念，從而建立了動態非線性數學期望理論基礎。「這是據我們所知的第一個動態非線性數學期望。」彭實戈表示，進一步的，他還引進了g-鞅等重要概念並用獨創的方法獲得了g-上鞅分解定理，將作為現代隨機分析的基石的Doob-Meyer分解定理推廣到了非線性。
2002年，基於該定理，他又證明了一個非常有趣的結果：一個動態相容的非線性數學期望，只要滿足一定的光滑條件，就一定是g-期望。這表明g-期望是一個基礎性的重要概念。最近國外學者發現，g-期望是計算「風險測度」和進行非線性統計分析的一個重要工具。這些研究結果都對建立非線性概率理論奠定了基礎。
事實上，即使對於金融資產的波動率的動態不確定性這種金融市場中天天都會遇到的現象，其動態風險度量度也無法在柯爾莫哥洛夫意義下的經典概率空間中定義，這促使彭實戈在一種全新的次線性期望空間中引入一個標準的隨機過程：G-布朗運動——一種新的布朗運動。而一個具有波動率不確定性的金融資產實際上就是一個G-幾何布朗運動。他和同事從此出發系統地建立起了相應的隨機分析和隨機計算理論，這也是現代動態金融風險度量理論的基礎工具。