今年秋分，「秋天的第一杯奶茶」突然刷屏。有人說，這指的是在這個突然降溫的季節裡，在意你的人主動或者在看你的消息後給你發「秋天的第一杯奶茶」，讓你喝到一杯熱乎的奶茶，從行動上表達他的溫暖。但其本質上就是在索要 52 塊的「天價」奶茶來秀恩愛。
圖 1: 別人喝進口奶茶的樣子像極了春天圖 2: 你喝秋天第1、2、...杯奶茶的樣子大多店裡的奶茶都算不上真正的奶茶。2017年，上海市消協對奶茶進行過一次抽查，結果表明：市面上大多的奶茶都含有大量咖啡因。一杯奶茶中的咖啡因甚至相當於 8 杯咖啡。除了咖啡因，奶茶中還含有較高的糖分。抽查的奶茶樣品中，糖的平均含量為 33 g。只要喝上一兩杯，就超過了健康人體每日的攝入量。更為糟糕的是，市面上的大多奶茶中並沒有奶，而反式脂肪酸卻普遍超標。
圖 3: 市面上的假奶茶並不含奶這意味著，你所以為的奶茶，大部分可能都是奶精。所以，建議大家不一定要用「第一杯奶茶」的方式表達愛意。可以換一些更健康的方式，比如幫他點上秋天的第一根中華。
圖 4: 你送你的奶茶，我點我的中華真正的奶茶應該是用牛奶和茶混合而成，牛奶中的蛋白質可以抵消掉茶的苦澀味，使茶的味道更美。為了喝到真正的奶茶，可以自己動手製作。取適量的茶葉放在水壺裡煮，煮開後將茶倒入杯中，再加入適量的牛奶，就是一杯簡單又健康的奶茶了（圖 5）。還可根據個人口味添加少量的白砂糖或食鹽（比如內蒙的奶茶就是鹹的，我個人也偏愛鹹味奶茶）。
圖 5: 真正的奶荼 = 奶 + 茶如果能在充滿涼意的秋天喝上一杯溫熱奶茶，那將是非常愉快的一件事。我們來考慮這樣一個場景（圖 6）：小模王打算為女朋友親自製作秋天的第一杯奶茶。由於某些單身狗不懂的原因，女朋友這幾天不能喝涼的。
圖 6: 先加奶還是後加奶？小模王希望女朋友喝到的奶茶儘可能熱。小模王已經煮好了茶並倒入了杯中，但此時他的女朋友還沒到。他有兩個選項：
以上兩種選項，哪種女朋友喝到的奶茶更熱呢？針對這個問題，本文將基於牛頓冷卻定律建立模型來解答小模王的疑問。
實驗針對這個問題，已經有不少人做過相關實驗[1-3]。這個實驗並不需要複雜的設備，如圖 7 所示，只需要準備一壺剛燒開的茶，一些牛奶，兩個相同的杯子，兩個電子溫度計，以及一個用於測量體積的杯子。當然還需要一部用於拍攝視頻的手機，實時記錄溫度計上讀數的變化。
圖 7: 奶茶製作實驗設置實驗中，首先將兩個溫度計分別置於兩個杯子中，然後往兩個杯子中倒入相同體積的熱茶。在其中一個杯子中倒入適量的牛奶，等待約 15 分鐘後，在另一個杯子中倒入同樣體積的牛奶。全程用手機記錄溫度計上的讀數。為了用於對照，實驗還對茶中不加牛奶的降溫情況進行了單獨的測量和記錄。圖 8 給出了三種情況下溫度的變化，該實驗數據來源於網絡[1]。
圖 8: 奶茶製作實驗數據實驗結果表明，先加奶的茶最終溫度要高於後加的。仔細觀察圖 8 中的曲線，可以看出先加奶的茶比沒加奶的茶冷卻得慢。因此，當向第二杯茶中加入牛奶後，它會比第一杯更涼。實驗的最終結論是：應該先加入牛奶，再等待女朋友的到來，這樣女朋友喝到的奶茶更熱。
模型接下來，我們從模型角度來研究這個問題。首先，我們需要知道茶是如何冷卻的。根據牛頓冷卻定律，物體的冷卻速度與其溫度和環境溫度之間的差成正比（圖 9）。
圖 9: 杯液散熱模型示意圖因此，物體的溫度變化滿足以下微分方程：
圖 10: 熱成像下的咖啡（假裝是茶）加奶假設兩種液體
結果上文已經建立了奶茶降溫和混合的模型，我們希望利用該模型還原實驗給出的曲線結果。可惜實驗[1]的描述中並沒有給出模型求解所需要的參數值，但我們仍然可以通過擬合實驗給出的降溫曲線來獲取相關參數。我們對不加奶的溫度曲線按照模型公式進行擬合，結果如圖 11（上）所示。
圖 11: 不加奶和先後加奶的降溫曲線擬合從圖中可以看出，擬合結果和實驗數據匹配得非常好。這也證明了模型的正確性。我們注意到起始階段實驗數據略高於擬合曲線，這應該是由於模型中沒有考慮到茶剛倒入杯中時，杯子吸熱對茶的冷卻效果。在此基礎上，我們還對實驗中「先加奶」和「後加奶」的情況進行了擬合，擬合結果如圖 11（下）所示。結果表明，模型與實驗結果基本一致。擬合得到了模型參數：熱傳遞參數
圖 12: 不同時刻加奶的奶茶降溫模擬結果根據模型擬合得到的參數，我們還可以計算出在任意時刻添加任意比例牛奶後的茶，經過任意時間後的溫度。這為我們比較不同加奶方案提供了方便和直觀的方法。圖 12 是不同時刻加奶的模擬結果。結果表明，越早加奶，奶茶的最終溫度越高。模擬所使用的程序見附錄。
結論在充滿涼意的秋天，如何才能給女朋友製作出一杯溫熱的奶茶呢？是應該先向含有熱茶的杯中加入牛奶，再等待女友的到來；還是先等待女友的到來，再向杯中加入牛奶？本文根據牛頓冷卻定律建立模型對這一問題進行了研究。模型結果與實驗結果一致。結果表明，先加奶的茶最終溫度高於後加奶的。本來還對不同時刻加奶的情況進行了模擬。模擬表明：越早加入奶牛，奶茶的最終溫度越高。
模型結果也並不難理解。添加牛奶可以降低茶的溫度，但這不是通過降低能量來實現的，而是通過將能量重新散布到更多的液體中。茶越熱，它與周圍空氣的溫度差就越大。越大的溫度差意味著熱量流失的速度越快，因此不含牛奶的茶比開始就添加牛奶的茶冷卻得更快。不含牛奶的茶會散發更多的熱量，但仍然始終比含牛奶的茶更熱。直到向不含奶的茶中也加入牛奶時，它才會變得更涼。因為最終兩杯奶茶的成分是相同的，所以最終能量高的奶茶將是更熱的。這意味著先加奶的茶損失的能量更少，因此最終溫度更高。
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參考資料[1]Dave Ansell. When to add the milk, 2007: https://www.thenakedscientists.com/get-naked/experiments/when-add-milk
[2]Stand-up Maths. Milk first or last? the correct method for hot tea, 2016: https://www.youtube.com/watch?v=CCuaWqhVvIc
[3]Rudolf Kohulák. The mathematics of tea-making, 2016: http://chalkdustmagazine.com/blog/mathematics-tea-making
[4]Food & Drink, Trivia. The science of tea making, 2013: https://guernseydonkey.com/the-science-of-tea-making