七、線性變換，矩陣的特徵值和特徵向量
考試內容
線性變換的概念和簡單性質 線性變換的運算 線性變換的矩陣 線性變換(矩陣)的特徵值、特徵向量和特徵子空間 線性變換的特徵多項式及Hamilton-Caylay定理 矩陣相似的概念及性質 矩陣可對角化的充分必要條件 線性變換的值域與核 線性變換的不變子空間 矩陣的若當(Jordan)標準型
考試要求
1.掌握線性變換的概念、基本性質及運算。
2.理解線性變換的矩陣，了解線性變換與矩陣的對應關係。
3.掌握線性變換及其矩陣的特徵值、特徵向量、特徵多項式的概念及性質，能夠熟練地求解線性變換及矩陣的特徵值和特徵向量。
4.了解關於特徵多項式的Hamilton-Caylay定理，了解矩陣的跡。
5.把握線性變換的特徵子空間、線性變換的不變子空間的概念。
6.掌握矩陣相似的概念、性質及矩陣可對角化的充分必要條件。熟悉將矩陣化為對角矩陣的方法。
7.理解線性變換的值域、核、秩、零度的概念。
8.了解矩陣的若當(Jordan)標準型。
八、歐幾裡德空間
考試內容
線性空間內積的定義及其性質 歐幾裡德空間的概念 標準(規範)正交基 施密特(Schmidt)正交化過程 正交矩陣 正交變換及其性質 正交子空間、正交補及其性質 實對稱矩陣的特徵值、特徵向量及相似對角矩陣 歐幾裡德空間的同構
考試要求
1.掌握線性空間內積、向量的正交、歐幾裡德空間等基本概念及性質。
2.理解正交變換和正交矩陣的關係，歐幾裡德空間中過渡矩陣的特殊性。
3.理解和掌握標準(規範)正交基的概念，掌握標準(規範)正交基的求法(施密特正交化過程)，了解標準正交基下度量矩陣、向量坐標及內積的特殊表達。
4.掌握正交矩陣的概念及性質，了解正交矩陣與標準正交基的過渡矩陣之間的關係。
5.理解和掌握正交變換的概念及其性質，了解正交變換和正交矩陣之間的關係。
6.理解正交子空間、正交補的概念及性質。
7.熟練掌握對稱矩陣的特徵值和特徵向量的特殊性質，對給定的實對稱矩陣A會求正交矩陣T使T′AT成為對角矩陣。
8.了解歐幾裡德空間同構的概念和性質，了解有限維歐幾裡德空間同構的充分必要條件。
五、主要參考書目
《高等代數》，北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，版次：1978年3月第1版 ，2003年7月第3版 ，2003年9月第2次印刷，高等教育出版社出版
編制單位：中國科學院研究生院
編制日期：2006年6月6日
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