穿越地心,需要多久?

2020-12-06 百家號

我國著名科幻作家劉慈欣曾經寫過一部小說叫《地球大炮》，其中的「南極庭院工程」在漠河與南極之間挖了一條貫穿地球的彎曲隧道。

小說中還提到，如果從中國挖一條筆直的隧道，另一頭的出口將是阿根廷。如果從這條筆直的隧道跳進去，需要花多長時間才能從另一頭蹦出來呢？劉慈欣寫道：

貝加納來了興趣：「……讓我們看看：我跳進去後會一直加速，雖然我的加速度會隨墜落深度的增加而減小，但確實會一直加速到地心，通過地心時我的速度達到最大值，加速度為零；然後開始減速上升，這種減速度的值會隨著上升而不斷增加，當到達地球的另一面阿根廷的地面時，我的速度正好為零。如果我想回中國，只需從那面再跳下去就行了，如果我願意，可以在南北半球之間做永恆的簡諧振動，嗯，妙極了，可是旅行時間……」

「讓我們計算一下吧。」沈華北打開電腦。

計算結果很快出來了，以地球理想的平均密度，從中國跳進地球隧道，穿過直徑一萬兩千多公裡的地球，墜落到阿根廷，需42分鐘12秒。

「快捷的旅行！」貝加納高興地說。

是的，42分鐘12秒，這是科學家過去一致認同的簡單估計，也是每個物理學的學生都要做的習題。

不過最近，有一位較真的科學家經過更精確的計算，從這個42分鐘裡又減去了4分鐘，把答案變成了38分鐘。也就是說，只需要花38分鐘，你就能從另一頭的阿根廷跳出來，也就是北京到天津一趟動車的時間啊。這篇論文發表在3月的American Journal of Physics期刊上。

物理老師之所以喜歡讓學生們做這個習題，是因為它既涉及牛頓萬有引力，又涉及一種簡單但重要的簡諧運動。學生們需要計算，掉入隧道的物體所受到的引力如何隨著下落高度而變化。

為了計算這個問題，我們先要做出一些不那麼切合實際的假設。我們假設：地球像一個撞球一樣，密度是均勻分布的，每立方米大約5500千克。在這種前提下，當你跳進隧道時，你受到的引力與你距離地球中心的距離有關。這是因為，當你不斷下落時，位於你腳下的地球物質在不斷的減少，而位於你頭頂上的物質對你則失去了影響力。這時，學生們使用的模型稱作「殼層定理」。

擴展閱讀：

殼層定理(Shell Theorem)是古典重力學上的理論，其可簡化重力於對稱球體內部和外部的貢獻，並且在天文學上有特別的應用。 殼層定理最先由牛頓在所推演出來，其闡明了：

1. 球對稱物體對於球體外的重力貢獻如同將球體質量集中於球心。

2. 在對稱球體內部的物體不受其外部球殼的重力影響。

在這個模型裡，由於你下落時受到的引力與你和地心的距離成比例，你會在這個隧道裡來回穿梭，就像上下蹦跳的彈簧，也像來回晃動的鐘擺。這個模型在教學中很好用，正是因為它是一個簡單的簡諧運動。

但實際情況卻並不是這樣的。我們都知道，地球的密度並不是均勻分布。地殼和地幔的密度較低，而地心的密度較高。所以，加拿大麥吉爾大學的物理學研究生Alexander Klotz開始思考，能不能建立一個更加準確的模型呢？Klotz說，他也不知道自己是如何開始思考這個問題的，不過他經常在reddit網站上回答網友提出的一些物理學問題，也許就在靈光乍現的一瞬間，他決定要重新計算一下。

為了獲得更精確的地球質量分布，Klotz決定採用「初步參考地球模型」（PREM，Preliminary reference Earth model）。這個模型基於地震數據，考慮了一系列的地球性質，包括彈性、衰減、密度、壓力和萬有引力。在這個模型中，地球密度並不是一成不變的，而是隨半徑而增加，比如地表的密度低於1000千克/立方米，而在6371公裡深的地核，密度升高到13000千克/立方米，並在地核的邊緣（距地心3500公裡處）有一個密度的突變。基於這個模型，Klotz得出了結論：落入「地球隧道」的物體，從另一邊彈出來的時間是38分11秒，短於「均勻模型」預言的42分12秒。

Klotz還發現，如果我們假設物體下落過程中受到的萬有引力恆等於在地表所受到的引力，那麼答案會變成38分鐘整。這種「引力恆定」的假設，需要地球的密度符合特殊的分布——隨深度逐步穩定增加。當然，這種假設並不符合實際情況，因為地核的密度實際上是較穩定的，並不會隨著深度變化。

那麼，為什麼「引力恆定」假說得出的答案與基於PREM模型的答案相差無幾呢（只少了11秒）？Klotz解釋說，這是由於地球的質量分布和引力隨深度只有少量增加，基本上較為恆定，直到遇到地外核。從外核開始，引力會開始下降（這與得出42分12秒的模型類似）。但是，下落物體到達地核時，速度已經非常快了，因此通過地核的時間極其短，所以覺察不出太大的變化，也不會對結果產生很大影響。正如劉慈欣在《地球大炮》中所寫道的：

這時，井壁發出的藍光突然變成紅色。

您現在已到達6300公裡深度，速度8公裡/秒，正在穿過地心！

耳機裡響起了鄧洋的聲音：「你現在已達到可以飛出地球的速度，卻正處在這個星球的中心，地球正在圍著你旋轉，所有的海洋和大陸，所有的城市和所有的人，都在圍著你旋轉。」

沐浴在這莊嚴的紅光中，沈華北的腦海中又響起了音樂，這次是一首宏偉的交響曲，他以第一宇宙速度穿過這發著紅光的地心隧道，仿佛漂行在地球的血管中，這使他熱血沸騰。

鄧洋又說：「雖然新固態材料有良好的絕熱性能，現在你周圍的溫度仍超過了一千五百度，你的密封服中的冷卻系統正在全功率運行。」

井壁的紅光只延續了十多秒鐘，又變回寧靜的藍光。

您已通過地心，現在正在上升，並開始減速。您已經上升了500公裡，速度7.8公裡/秒，仍在固態地核中。

由於穿越地心的時間非常短，所以，採用「引力恆定」的假說得出了38秒的結論，與更精確的模型差得並不多。

在《地球大炮》的最後，地球隧道被科學家改造成了一個長達6300公裡的電磁線圈，落入其中的物體不再進行簡諧運動，而是不斷的加速，用來發射火箭，真正變成了「地球大炮」。主人公沈華北通過地球大炮來到太空，望著蔚藍色的地球，想到了第一個到達地心的人、如今依然被困在地心鐵鎳流中的孫女沈靜。此刻，她正駕駛著「落日六號」地航飛船，在地心永恆的漂流。想起來好孤單，還好，大劉在另一部小說《帶上她的眼睛》中，講述了深在地心的沈靜，通過主人公的「眼睛」，遊歷了高山與草原，也算是給讀者一點安慰。

這是小說家浪漫的幻想。說不定在未來，真有那麼一天，我們能挖穿地球。到那時候，我們和阿根廷之間，只隔著一個北京到天津的動車距離。那麼，為了到達那一天，讓物理學的計算先帶上我們的眼睛和幻想吧！

（編譯：汪汪）

【參考文獻】

[1]Adrian Cho. How long would it take you to fall through Earth? Science, 2015; DOI: 10.1126/science.aab0366; http://news.sciencemag.org/earth/2015/03/how-long-would-it-take-you-fall-through-earth?rss=1

[2]Alexander R. Klotz. The gravity tunnel in a non-uniform Earth. Am. J. Phys. 83, 231 (2015); http://dx.doi.org/10.1119/1.4898780

Am. J. Phys. 83, 231 (2015)

[3]劉慈欣. 《地球大炮》.

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