每日科普｜聽歌這麼久，音樂的奧秘你發現了嗎？

音樂和數學都與我們的生活有著密切聯繫。音樂能陶冶情操，使人放鬆心情，在影視作品中更是烘託氛圍的絕佳選擇。數學運用在我們生活的方方面面，小到超市折扣，大到宇宙探索，都離不開數學。音樂和數學更是有著奇妙的共通點，音樂中的節拍與數學中的數列都有著自身的規律。而若是在音樂中探尋數學的影子，又會給我們帶來怎樣的意外收穫呢？今天，就讓我們進入音樂中數學的奇妙世界吧！

肉眼可見的數字和音樂

音符與數字

在簡譜中，我們最為熟悉的音符do至si被表示為數字1~7。在數學中，數字0~9組成了千奇百怪的算式，因此，音樂中的1~7也能構成千變萬化的樂章。

值得一提的是，鋼琴鍵在一個八度中共13個鍵，由8個白鍵與5個黑鍵組成。其中5個黑鍵又分成2個一組和3個一組，正好和斐波那契數列（黃金分割數列）中連續的5個數字——2、3、5、8、13重合，不得不說是一個美妙的巧合。

節拍與分數

在一首音樂中，我們時常會聽到幾個樂章，樂章中又分成小節，小節又能細分成不同的音符。每個音符所對應的節奏都能夠用分數來表示，例如1/8代表著八分音符，即8個八分音符能夠組成一拍。利用不同長度的音符，自然就能組成各式各樣的節拍，而這些都能夠用分數來表示。

以民族樂曲《茉莉花》舉例，第一個小節分別由1個四分音符和6個八分音符組成，寫作算式就是：1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/4，正好是一個小節。在更複雜的編曲中，要用到各種長短不一的音樂符號，涉及各種附點音符和休止符，可以說要想編出精妙而嚴謹的曲子，還需要掌握數學知識才行。

旋律與幾何

在編曲中，比較常用的一種手法是將一段旋律以相同的節奏，但整體向上或向下挪動幾個音符。用數學幾何來解釋的話就是「平移」。例如貝多芬著名的《命運交響曲》（又名《c小調第五交響曲》），樂曲開頭就讓人感到震撼，再細看樂譜，我們能夠清晰地看出，後兩個小節是將前兩個小節的音符進行了垂直平移，使得後兩個小節的音調整體變得更為深沉和強烈。

還有一種編曲手法被稱為「逆行」，即將一段旋律從後向前重複一遍，使旋律形成左右對稱的「鏡像」。這一手法在譜面上的表現，不正像在平面直角坐標系上的水平翻轉嗎？

編曲美學與黃金分割

黃金分割可以說是數學在藝術領域上的一個突出體現。在一個線段AB中，取一點C，使得AC∶BC = BC∶AB，而這個比值就是0.618。

有趣的是，在許多著名的音樂作品裡，高潮往往安排出現在一首曲子中心點偏後的位置，從而在樂曲中形成了「黃金分割」比例。例如蕭邦的《降D大調夜曲》，不計算前奏的話共有76小節。76×0.618=46.97，按照黃金分割的理論，高潮部分應該出現在46小節。而《降D大調夜曲》力度最強的高潮正是出現在46小節，可謂是對黃金分割的絕佳詮釋。另據美國數學家喬巴茲統計，莫扎特的所有鋼琴奏鳴曲中有94%符合黃金分割比例，不禁令人感嘆這是多麼奇妙的巧合。

藝術之美都是貫通的，無論是我們熟知的繪畫、雕塑作品，還是音樂作品，只要其中運用了黃金分割，那這樣的作品往往更受人青睞，這無疑是數學在音樂乃至藝術中的體現。

優美的弦振動公式

提到音樂，就不得不提樂器。在樂器中，具有一定的規格是十分重要的。樂器的每根弦、每個氣孔、琴碼或踏板的位置都要根據標準精心調試，達到分毫不差。否則，一件樂器在不同的師傅手中，就會出現不同的調式。如樂團中常見的樂器長笛，通過向管內吹氣，氣流在管中碰撞，並通過共鳴管產生共鳴，按下按鍵則能夠改變笛聲的音色音調。這樣精妙的設計，自然需要統一的製作，因此我們看到在市面出售的長笛也會標明笛子的規格。

製作樂器利用的就是聲音的振動原理。18世紀，英國數學家泰勒發現了弦振動頻率的公式：

公式中的f表示頻率；l表示弦的長度；T表示弦的張力；ρ表示弦的密度。

這表明對於材質與粗細均相同的一根弦，頻率與長度成反比；相差一個八度的兩個音振動頻率之比為2∶1。按照這個標準，我們就能夠準確地測量樂器的音高了。假定一根空弦發出的聲音是do，則1/2長度的弦發出的是高八度的do；以此類推，8/9長度的弦發出re的音，64/81長度的弦發出mi的音，3/4長度的弦發出fa的音，2/3長度的弦發出so的音，16/27長度的弦發出la的音，128/243長度的弦發出si的音。若要發出高八度或低八度的音，也可以通過此公式來推理得出。

樂器是按照一定的規格制定的，而規格的統一就是標準化，標準化其實就是數學化。這樣統一化的生產過程，就是數學參與在音樂中的最好證據之一。

熱愛音樂的數學家

數學家與音樂的關係可以追溯到古希臘畢達哥拉斯學派，該學派信奉「萬物皆數」，認為世界是嚴整的宇宙，整個天體體現著數的和諧，這種和諧使浩瀚無垠的宇宙處於一種紛繁有序的永恆運動之中。畢達哥拉斯學派強調宇宙天體、音樂、數字、神和人的心靈之間的和諧關係，提出了「美是和諧」的概念。

一次，畢達哥拉斯路過一個鐵匠鋪，悅耳的打鐵聲引起了他的注意。於是他走入店中仔細觀察，發現有4個鐵錘的重量比恰為12∶9∶8∶6，將它們分成兩兩一組來敲打，都能發出和諧的聲音。他們的組合包括12∶6=2∶1的組合，12∶8=9∶6=3∶2的組合，12∶9=8∶6=4∶3的組合。畢達哥拉斯進一步用單弦琴加以驗證，最終經過反覆實驗，他將這幾種美妙的音調歸結為：八度音、五度音和四度音，對應2∶1、3∶2和4∶3。這可以說是最早用數學方法研究和諧美的實例了。

畢達哥拉斯還曾提出十二等程律（又稱十二平均律）的概念。在之前我們已經了解到音是由振動產生的，十二等程律指的就是將一個八度的頻率平均分成十二等分，每分相差一個半音，也就是100音分，是最主要的調音法。用數學的方法表示，就相當於一個有12項的等比數列。每個音的頻率都為前一個音的2的12次方根。

而明朝數學家朱載堉則在1584年將其理論化，他是世界上首位推算並製造出十二音律樂器的人。在當時常用五聲音階「宮、商、角、徴、羽」的中國，是他力排眾議，創造了十二音律，也就是我們現在常用的七聲音階。他用竹子製造而成的36根律管，分別為倍率管12根，正律管12根與半律管12根；其口徑、長度都經由嚴密的測算得出，是世界上最早的十二音律樂器。

無獨有偶，德國著名作曲家巴赫所著的《平均律鍵盤曲集》，根據名稱來看，可能就是為了十二音律樂器所設計。東西方的數學家們刻苦鑽研十二音律，努力算出更精確的比率來使樂器的音調達到完美。最精確的比率換算成小數大約為1.059464094，即100音分。

古往今來，數學界的許多偉人也被音樂的魅力深深打動。英國數學家西爾維斯特曾說：「難道不可以把音樂描述為感覺的數學，把數學描述為理智的音樂嗎？」，來自法國的傅立葉則認為，所有的樂聲都能夠由數學表達式來描述。

創立了笛卡爾坐標系的笛卡爾不僅是一位偉大的數學家，同時也是一位音樂天才。笛卡爾曾說過：「音樂之美就是數學之美。」他在尋找數學中的靈感時，將自己的想法融入音樂，音樂與數學相得益彰，給了他無數啟發。

音樂是感性的美，數學是理性的美。但無形中，二者又彼此糾纏，看似不同，實際密切聯繫。為了體驗它們的魅力，人們在數學和音樂的世界裡不斷探索。

責任編輯：陶薩麗慶