走進四維空間

距2029年5月19日北京工體（鳥巢）

個人演唱會還有

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今天我們來試圖看清一下四維空間，能不能講出來在我，能不能想像出來在你，但我相信最終的真實結果一定是兩敗俱傷，所以不妨讓我們換一個心態，對於這樣的話題，不管能不能說明白，肯定會增加我們不少的播放量，另一方面，你不懂也可以裝懂，明白幾個概念出去談笑風生足夠就行了，這樣我們就從兩敗俱傷變成了皆大歡喜，何樂而不為呢？

在走進四維空間之前，我們先來看一下我們生活的三維空間。我們常見的坐標系，也就是一條x軸加一條垂直於x軸的y軸便構成了一個二維平面，也被稱為二維空間，現在再從兩條軸的交點做一條同時垂直於x軸和y軸的z軸，就形成了三維空間，這一點我們已經十分清楚了。知道了這一點，四維空間就簡單了，那就是在四維空間中，我們可以畫出一條與x軸、y軸和z軸都正交的w軸，你可能認為這是不可能的，這你不用管，它怎麼就不可能？我現在就給你畫出來，在一張紙上我們可以畫出來三維空間中互相垂直的x軸、y軸和z軸，當然了我們憑藉我們有限的想像，可以把這想像為三維空間，之後再在紙的外部，於三條軸的交點處立一根鉛筆，這就是四維空間。雖然這並不是正經的四維空間，但是它卻告訴了我們一個十分重要的事實，那就是四維空間是無數個三維空間疊加起來的世界，就好像是三維空間是由無數個二維空間疊加起來的一樣。

三維空間

如果有一天你見到的上帝，上帝要滿足你一個願望，如果你還沒有準備好，但上帝的時間還很有限的話，那麼你放心，你就選擇進入四維空間的能力，我保證你不吃虧，因為從此以後你就不用上班了，很多事情對於你來說簡直就是不知道簡單到哪裡去了，什麼金庫什麼保險柜在你眼中統統不存在，從此以後你就可以劫富濟貧了，到時候千萬別忘了濟一下我。

現在想像這樣的場景，二維世界中有一個黃博士辛辛苦苦攢了2000塊錢，現在他要把這些錢鎖起來，很簡單只需要畫一個四邊形給錢圍起來就足夠了，這就是二維世界的保險箱，因為二維世界的人只能看到平面方向的事物，也就是說，對於二維人來說，它們看到的是一維的線，所以錢是看不到的。但是對於我們三維人來說，二維黃博士的所有操作都在我們眼皮底下，我們可以輕輕鬆鬆讓二維黃博士瞬間破產。只要拿著錢沿著高度方向抬高，然後水平移動出來就行了，而且此時的錢並非破壁而出，因為我們完全是在沒有碰到保險箱壁的情況下移動的。二維的黃博士無法看到這個過程，他只能看到他辛辛苦苦賺的、千方百計藏起來的錢，突然間不翼而飛了，然後哭暈在廁所。

與此相同，四維空間中的四維人也可以「俯視」我們的三維世界，對於四維人來說，他們完全可以看到三維黃博士在保險柜中藏的錢，然後拿著錢沿著第四維方向抬高，錢就會從三維世界中消失。也和二維世界中發生的情形一樣，此時的錢也不是破壁而出，還是這樣不明不白的沒有了，黃博士再次哭暈在廁所。

好了了解了四維空間的基本性質之後，我們現在就來試圖真正看一下四維空間中的物體，為了簡化，我們選擇四維立方體。首先我們想像沿著x軸畫一條長度為1的線段，然後將這條線段沿著y軸方向移動1個單位，此時這條線段的移動軌跡就形成了一個正方形。之後，再把這個正方形沿著z軸方向平行移動1個單位，此時的移動軌跡就是邊長為1的立方體。我們繼續進行這一操作，將立方體沿著與x軸、y軸和z軸均垂直的w軸移動1個單位，此時立方體的軌跡就形成了一個四維立方體，也被稱作「超立方體」。

那麼這個超立方體看起來究竟是怎樣的呢？還是以立方體為指導，如果我從從上至下俯視一個立方體，那麼我們會看到一個大的正方形包圍著一個小的正方形，其中，小的正方形在遠處，大的正方形在眼前。而側面則有4個梯形。同樣的，如果要在三維空間內以模擬圖的方式畫出超立方體，那麼從w軸方向垂直向下俯視，看到的就是一個大的立方體包圍著一個小的立方體。在平面上看起來，小的立方體位於大立方體的內部，但事實上，小立方體其實是位於w軸方向的深處，大的立方體則位於w軸方向的眼前。需要注意的是，無論是小的立方體還是大的立方體，在四維空間中，它們都是邊長為1、大小相同的立方體。另外，我們可以看到小立方體與大立方體之間，有6個梯形金字塔，這就相當於超立方體側面，當然了，這些梯形金字塔在四維空間中都是邊長為1的立方體。

俯視立方體

超立方體

好了記住一點就行了，那就是小的立方體在遠處，大的立方體在眼前，現在我們看到的就是超立方體的模擬圖，然後你極盡所能地發揮一下想像力，看看能不能想像出超立方體是什麼樣子，我相信只要你使使勁，依然是想不出來的。這就叫去你的四維夢。

總之結論就是，我們無法直接在三維空間中畫出超立方體，也很難想像超立方體具體長什麼樣子。不過儘管如此，我們卻可以退而求其次，畫出超立方體的展開圖，所謂的展開圖，就是指將原圖切開後所形成的圖形。

首先，我們還是思考一下普通的立方體的展開圖。立方體有6個面，都是正方形，沿著各個面的邊將立方體切開平鋪，有一種情況是6個正方形連接組合成了一個十字形。如此一來，我們就將三維圖形展開成了一個維度減一的二維圖形。反過來就是說，立方體的表面是由6個正方形立體彎折而成的。

立方體展開圖

那麼如果將超立方體切開會如何呢？我們直接說答案，為什麼直接說答案，因為怎麼展開的，我實在是編不出來了。答案就是，此時會是一個由8個立方體連接組成而成的立體圖形，可見，超立方體的展開圖無法在二維空間中畫出，但是可以以立體的形式在三維空間內呈現。

超立方體展開圖

下面我們再來看看四維空間中的球。首先還是回到二維空間和三維空間，如果用文字來形容圓與球，它們都是距離相等的點的集合內的區域。找來一根鉛筆，以一端為頂點，在桌面上轉一圈就形成了一個圓。然後，將筆頭稍微往上提，保持提高的高度不變，繼續旋轉畫圓，就會在比剛才平面略高的位置，畫出一個比剛才的圓半徑略小的圓。然後繼續進行這一操作，畫出的圓半徑越來越小，不斷疊加最終到達頂點。採用這種方法所形成的圖形，就是以鉛筆長度為半徑的球體上半部分的球面。在平面的下方繼續進行這一操作，所有這些圓就疊加形成了整個球面。

在此基礎上，我們可以說：在四維空間中，到原點距離相等的點的集合內的區域就是四維球。就像剛才用鉛筆畫球面一樣，四維球的表面也採用同樣的方法畫出來，不過此時的鉛筆需要沿著四維方向提高。也就是說，在w=0的三維空間內畫出普通的球面後，將鉛筆頭沿著四維方向稍微提高，按照同樣的方法畫，就會畫出比剛才略小的球面。然後沿著四維方向繼續進行同樣的操作，不斷反覆進行，最終在四維空間中描畫出的球面集合，就是四維球的表面。

那麼當這樣的四維球穿越我們的三維空間時，我們會看到怎樣的景象呢？我們給它降一個維度來考慮就可以了。假如我們生活在二維世界，當一個三維球穿越二維平面的時候，我們會看到一條線，然後這條線不斷變長，當變成和球的直徑一樣長之後，就開始不斷變短，最終消失。同樣的，當四維球穿越三維空間的時候，我們首先看到的是一個圓，然後這個圓不斷變大，當達到四維球的直徑後，圓開始逐漸變小，最後變成一個點消失了。這裡需要明確一點的是，我們雖然生活在三維世界中，但事實上我們其實也是看不出來三維物體的，所有的物體在我們眼中其實都是二維的，不過我們的思維允許我們想像三維的樣子。

關於四維的話題就是這些，這是一種超越我們意識與經驗的存在，我的智商不允許我想像四維世界的樣子，所以我也想當然地認為，所有認為自己可以看到四維世界的人都是吹牛逼。維度可以有無限，但人類卻被局限在這弱智般的一二三之內，這沒有辦法，你或許會感到萬分沮喪，但還是我們節目常說的那句老話：人無往不在枷鎖之中，但也生而自由。先把三維世界活明白再說吧。