從四維「超立方體」到四維空間

設計在設計之外，本文意在開拓思維

原創文章，文中理論均為幾何理論，轉載請說明

大家好，歡迎來到商老師的設計學堂。今天不帶大家了解下「超立方體」。本篇文章的內容不易理解，但是對開拓思維有很大幫助。

什麼是超立方體？

圖為超立方體，從三維投影看，一個在四維空間中繞一個平面旋轉的四維超正方體。

超立方體又稱為四維超正方體或正八胞體，是一種存在於四維空間的一種物體。在幾何學中，四維超正方體是立方體的四維類比，有8個立方體胞。四維超正方體之於立方體，就如立方體之於正方形。

下來我們來看下什麼是「超」、什麼是「胞」

「超」

我們來推導一下，超正方體的構造方法可以通過以下方式來想像：

從零維到一維：兩個點A和B可以被連接起來，我們就得到一個新的線段AB。

從一維到二維：兩個平行的線段AB和CD可以被連接起來，我們就得到了一個正方形，以頂點為標記記作正方形ABCD。

從二維到三維：兩個平行的正方形ABCD和EFGH可以被連接起來，我們就得到了一個立方體，以頂點標記為立方體ABCDEFGH。

從三維到四維：兩個平行的立方體ABCDEFGH和IJKLMNOP可以被連接起來，我們於是就得到了一個超正方體，以頂點標記為超正方體ABCDEFGHIJKLMNOP。

換句話說，一個立方體就是一個「超矩形」，一個超立方體就是一個「超立方體」。你理解什麼是「超」了吧

「胞」

我們都熟悉點、線、面、體，如果繼續向高緯度推，那麼下一個就是「胞」。沒錯，就是點、線、面、體、胞。（胞也可以理解成組成四維物體的一種三維元素）在幾何學裡，胞是指一個為更高維物件的一部分之三維元素。

圖為立方體堆砌，每一邊有四個立方胞

比如，一個正方形由四條邊構成，這是二維圖形；一個正方體由六個面構成，這是三維物體；一個超正方體由八個胞構成，這是四維物體。

四維超立方體的可視化

圖為四維超立方體的三維展開圖

超正方體能夠被展開成三維空間中的一個由8個立方體組成的展開圖，就像立方體能被展開成二維空間中的一個由6個正方形組成的展開圖一樣，超正方體有261種不同的展開圖。

三維的正方體和類似的四維超正方體的三維射影

註：左邊為三維立方體，右邊為四維超立方體

左邊的圖片是正對著一個面看到的正方體。四維中超正方體類似的視角是正對一個胞看到的透視射影，也就是右邊的圖顯示的。就像正方體的投影是一個正方形一樣，超正方體的投影是一個正方體。 需要注意的是，正方體的其他5個面在這裡是看不見的。它們被看的見的這個面擋住了。相似地，超正方體的其他7個胞也是看不見的，因為它們被看得見的這個胞「擋住」了。但是，這個體的6個面，卻是全見的。而且不是左圖中以透視的方式展現的「全見」，而是猶如我們可以普通的全見整個正方形的四條邊和內部一樣，4維世界的人的眼，是直接全見整個正方體的6個面和內部的。

左邊的圖片是正對著一條邊看到的正方體。超正方體類似的視角是正對一個面看到的透視射影（右邊的圖）。就像正方體正對邊的投影是兩個梯形一樣，超正方體正對面的投影是兩個稜台。 在這個視角中，正方體離我們最近的邊是紅色的面與綠色的面的公共邊。同樣，超正方體裡我們最近的面是紅色的胞與綠色的胞的公共面。

左邊是一個正對頂點看到的正方體。這與右邊超正方體的正對一條邊看到的透視射影相似。就像正方體正對頂點的投影由三個共用一點的梯形組成一樣，超正方體正對邊的投影由三個共用一邊的六面體組成。正方體離我們最近的頂點是三個面的公共點，而超正方體離我們最近的邊是投影體中部的三個胞的公共

邊。

我們還可以把正方體的正對邊射影和超正方體的正對邊射影放在一起，作一個類比。正方體的射影有兩個梯形共用一邊，而超正方體的射影有三個六面體共用一邊。

左邊是正方體正對點的射影，右邊則是超正方體正對一個頂點的透視射影。正方體的正對點射影有三個圍繞一點的四邊形，而超正方體的正對點射影有四個圍繞一點的六面體。正方體離我們最近的頂點是位於投影圖形中部的三個面的公共點，而超正方體離我們最近的點也是位於投影體中部的，四個胞的公共點。 注意正方體的六個面中，只有三個能被看到，因為其它三個面在正方體的另一邊，被這三個面擋住了。相似地，超正方體的八個胞中只有四個能被看到，因為其它四個胞在超正方體的另一邊（在四維深度中離我們這一邊更遠的一邊），被看得見的四個胞擋住了。

四維空間與四維時空的區別

我們說到「四維空間」時，經常是誤指愛因斯坦在他的廣義相對論和狹義相對論中提及的四維時空。而本文中所指的「四維空間」將時間拋出在外。

我們都知道三維空間中有三個方向軸，分別為x、y、z。也可以表示為三維物體的長、寬、高。而純空間性的四維空間較之三維空間多了一個維度，也就是在x、y、z的基礎上多了另一個軸，w軸。

四維空間生物較之三維空間生物的不可思議現象

如果存在四維生物，那麼他們可以在我們的三維世界裡.........

絕對隱身

普通的隱身僅僅是指一個事物不發光、不反光而使得別人無法看見它，但任何人都可以摸到它。絕對隱身下的物體卻是既不能被看到，也無法被摸到的。如果把螞蟻假設為只能在兩維的地面上移動的生物，再假想有一隻能在三維空間中自由活動的蜻蜓飛在螞蟻的上方，那麼蜻蜓可以看見螞蟻，螞蟻卻無法看到或摸到蜻蜓，蜻蜓就對螞蟻實現了絕對隱身。同樣的道理，如果一個人能夠在多維空間中自由運動，他就可以對那些只能在三維空間中自由移動的人做到絕對隱身。

抄近道

假設某人沿著地面從地球上的南極點步行到地球北極點，顯然要走很長的路，但是一個中微子可以直接從南極點經過地殼、地幔、地核穿到北極點，走的路就近了許多，這正是因為它巧妙地運用了第三條維度。根據廣義相對論，空間是彎曲的，我們所生活的這個三維空間很可能是一個四維幾何體的封閉曲面，直接通過長、寬、高的方向從一個天體到另一個天體有很長的距離，如果能藉助第四條維度，那麼就節省了一定距離，也就是抄了近道。在量子物理模型中，多維空間中這種很近的通道又被稱為蟲洞。

以上就是四維「超立方體」的一些概念。其實作為三維生物，我們的眼睛只能捕捉二維空間的信息，也就是長和寬。但是我們的大腦可以理解深度，我們看到的圖像都是二維的，但是結合我們觸覺，人類一種綜合的信息處理能力使我們無時無刻都在感知三維的世界。而四維空間，我們只能用它在三維空間中的投影去理解了。

謝謝閱讀。