(一)
1906年，偉大的科學家兼噁心的人種改良倡導者高爾頓(Francis Galton)參加了年度西英格蘭家畜展，即興做了個數學實驗。
在集會上閒逛的他碰到了一個猜重量競賽。人們猜測一隻的公牛的重量，猜的最準的人將獲得大獎。
高爾頓曾公開鄙視過普通大眾的愚笨。他相信只有專業人士才能做出準確的估測。787位猜測者中根本沒幾個專業人士。為了體現群眾的無知，他算出了所有猜測的平均數(而不是當時統計學家常用的中位數)：1197磅。得知實際重量後他嚇了一跳：1198磅。
在如今的世界裡，我們只能見到平均數的身影：紐約4月均溫為52華氏度；庫裡場均拿到30分……只有在某些統計裡(美國家庭年收入中位數為51939美金)中位數才會露下頭角。
那麼，中位數是如何消失的？平均數又是如何成為了當今世界最流行的量數？
(二)
俗稱的平均數(average)在數學上的其實是「算數平均數」(arithmetic mean)，意為所有數據之和除以數據的個數。算數平均數中的「平均數」(mean)一詞源自拉丁語的「中間」(medianus)。Mean這一概念最初由希臘數學家畢達哥拉斯提出。
畢達哥拉斯時代的mean並不具有表徵作用，它指的只是三個數字中間的那個數字，那個數字必需與兩頭的數字呈「相等的關係」。這三個數字可以是等距(如2，4，6)，也可以是等比(如1，10，100)。
花了十年時間探尋average和mean起源的統計學家Churchill Eisenhart表示，與現代人依賴於大量數據進行計算不同，早期科學測量非常不準，科學家們需要藉助理論來選出多個數據中最好的一個。
正是藉助mean這一理論的力量，古希臘天文學家託勒密從極少數的觀測中，選擇出了31』20作為月球的角直徑。如今我們知道根據所在地點的不同，月球的角直徑為29』20到34』6不等。
在英語中，average一詞在1500年左右開始出現，指代船隻或船上貨物受損所帶來的經濟損失。如果因為船隻受損，船員們必需扔掉一些貨物來減輕重量，那投資者就會用arithmetic mean的方式來計算出總體經濟損失。漸漸地，這兩個概念融合在了一起，稱為了我們通常所說的平均數。
多年之後，科學家才會開始使用一種集中量數來表徵一組數據。但首先站上歷史舞臺的，不是平均數，也不是中位數，而是中列數。
(三)
科學工具往往是為了解決某些學科內特定問題而創造出來的。在集中量數的尋找過程中，人們希望解決的問題是為導航而進行的地理測量。
波斯學者比魯尼。(masmoi)
11世紀波斯知識界巨匠比魯尼是集中量數已知最早的使用者之一。他嘗試測量了古城伽茲尼的經度。那個時代的人們在拿到一組測量數據之後，會去掉兩頭之間的數據，取最大值和最小值中間的算術平均數。我們今天把這個數稱為中列數(midrange)。
Eisenhart發現，17和18世紀時中列數依然盛行。牛頓和其它航海家為了計算地理位置都使用過中列數。但近幾百年來，在這被平均數佔領的世界中，中列數已經下落不明。
(四)
19世紀早期，算術平均數已經成為了一種常用的集中量數。那個時代最傑出(也最暴躁)的數學家高斯在1809年寫道：
如果要在同一情況下用同種方式，從幾次直接觀測中選出一個數，那這些數的算術平均數便是最接近真值的數。習慣上，這假設已經已經被當成一個公理。
這究竟是如何發生的？
史書上並沒有明確的記載。Eisenhart發現，算術平均數可能在地理大發現時代被探索磁偏角(磁北方向與正北方向之間的夾角)數學家們首次採用。
直到16世紀後期，大部分科學家都在使用某種特定的算法來取測量中的最佳值。但在1580年，William Borough用了一種新算法，把8個數據「結合在了一起」，宣稱磁偏角在11°15』至11°20』之間。雖沒有明確記載，但他可能用了算術平均數。
1635年時，英國天文學家Henry Gellibrand稱為了已知最早使用平均數作為集中量數的人。一天早上，他測出磁偏角為11°，當天下午則測出11°32』。然後他寫道：
「如果我們取算術平均數，我們或許能確定，正確的測量為11°16』。」
這可能便是人類在使用平均數來估測真值的路上走出的第一步。
(五)
在數學界，中位數幾乎是與平均數在同一時間出現。1599年，數學家Edward Wrights首次在記錄中推薦了中位數。
「許多支箭射向一個標記，標記被移走，想找出標記原來所在位置的人，或許能想到這樣一種方法。他應該找到箭頭最集中的地方：在那麼多次觀測中，最中央的地方離真值最近。」
19世紀時，中位數仍是數據分析中不可或缺的一部分。在較小的數據集中比較容易計算出中位數。而且那個時代的人認為中位數比平均數更具普遍性。
高爾頓也是中位數的堅定支持者之一。(Wikimedia)
(六)
然而由於平均數獨特的統計學性質以及與正態分布的關係，中位數自始至終都被平均數在人氣上所壓制。
在許多情況下，大量測量出的數據會呈現「正態分布」(normal distribution)。人類身高、IQ分數、年均氣溫等數據都會以中間高、兩頭低的「鐘形曲線」形式分布。
當數據呈正態分布，平均數往往處在鍾型曲線的最高點，而絕大部分數據都會處在中位數的旁邊。通過標準差，我們還能計算出距離平均數某段距離內數據的個數。
標準差，即數據內數值與平均數之間距離的平方的平均數的平方根，讓平均數在分析實驗數據和統計推斷方面具有突出的價值。沒有此類特性的中位數漸漸在科學和統計用上失去了光芒。
計算機的出現也讓平均數變得更加普及。編寫計算平均數的電腦程式要比編寫中位數的程序容易得多。以至於在Excel中，計算某些數據的中位數都要多下一番功夫。漸漸地，平均數稱為了最被人熟知，但不一定是最好的代表值。
平均數先生，中位數先生，眾數先生。(Hannah Holt / Lightbulb Books)
因為平均數容易受到極端值的影響，所以很多情況下，中位數才是幫助找到分布中心的最好的數值。許多分析師相信，不分黑白地使用平均數損害了我們對定量信息的理解。
回想一下最近讀到過的房屋均價、人均收入等數據，你就能發現，中位數才是最能反映普遍性的代表值。最富有的1%能極大地改變平均數所處的位置。正因如此，美國人口普查局決定使用中位數來衡量美國家庭年收入。
平均數同時也很難受到髒數據(dirty data)的影響。隨著統計學家需要應對的網際網路數據越來越多，當工作人員遇到不準確的數據，或者是打字時多加了一個零，中位數便顯現出了自己的優越性。
(七)
隨著數據收集和分析在我們的日常生活中的作用不斷凸顯，我們必需重新審視用來代表這些數字的集中量數。在一個理想的世界裡，分析師會同時使用平均數、中位數和眾數，配以圖像來展現數據。
但我們生活在精力有限、時間倉促的社會裡。如果只能選擇一個數字，我們應該選擇中位數。
中位數還是平均數之間的抉擇有著重要的意義。選擇了平均數，心理學家容易做出錯誤的診斷，金融家可能誤估市場的發展。平均數已經統治了人類世界數百個春秋，或許是時候讓我們做出一些改變了。
http://jandan.net/2016/05/06/average-mean-median.html