負反饋電路雙埠分析的局限性

雙埠（TP）分析廣泛用於負反饋電路的研究。這種類型的分析要求我們首先確定所分析的電路屬於四種拓撲結構中的哪一種（包括串聯-並聯、並聯-串聯，串聯-串聯或並聯-並聯），然後適當調整基本放大器，以適應反饋網絡負載。教科書確實指出，TP分析假設了某些近似值，因此其結果不一定準確。然而，很少教科書通過實際例子對此進行深入討論，表明TP分析即便稱不上極其缺乏，至少是不夠的。因此，在熟練掌握TP分析之後，人們可能會錯誤地認為結果就是確定的。讓我們以圖1中的電壓跟隨器來舉例說明。CNVednc

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圖1：（a）電壓跟隨器；（b）小信號等效電路。假設g_m = 20mA/V，r_π = 2.5kΩ，r_o = 50kΩ，R₁ = R₂ = 1.0kΩ。CNVednc

圖1a的電壓跟隨器形成了一個串聯-並聯電路，它很簡單，我們可以直接得到精確的閉環增益。參考圖1b的交流等效圖，我們使用節點分析可以很容易得到熟悉的表達式：CNVednc
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接下來，我們使用TP分析將電路置於圖2a的模塊示意圖中，其中a_mod是為了考慮負載因素而調整過的基本放大器的增益，A_ideal是a_mod→∞時的閉環增益，該電路的增益可從以下熟悉的表達式得出：CNVednc

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其中a_mod/A_ideal之比也稱為迴路增益。參照圖2b，通過檢查，可以得到：CNVednc

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圖2：(a)TP分析示意圖；(b)得到調整增益a_mod = v_o/vi的電路。CNVednc

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通過讓g_m → ∞，來獲得得到A_ideal所需的條件a_mod → ∞。這使得v_π → 0，所以通過r_π（因此通過R₁）的電流趨於零，表明 v_o → v_i。所以：CNVednc

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將a_mod和A_ideal代入公式(2)，我們可以得到：CNVednc

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其中，在A_TP表達式中，我們故意顯示「0」，以便將它與前面A_exact表達式中對應的「1」進行對比。使用圖1的一組值，我們可以得到：CNVednc

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在這個示例中這種差異最小，這與低頻操作有關，但在高頻時會變得更加明顯，接下來的示例可以說明這一點。CNVednc

為了研究頻率特性，我們使用圖3的交流等效電路，其中包括基極-發射極電容C_π，該寄生元件決定了射極跟隨器的動態特性。等式（1）和（4）的表達式仍然成立，只要我們進行如下替換：CNVednc

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圖3：使用電容C_π來看頻率響應。CNVednc
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之後，A_exact和A_TP都成為jω的函數。現在，考慮到ω→∞，我們有g_mzπ(jω)→0，然後：CNVednc

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從數學的角度，A_TP與A_exact的顯著差異源於公式分母中的「0」而不是「1」。從物理的角度，我們注意到，在高頻率時，C_π接近短路，V_π和g_mV_π都接近於零，從而將圖3的電路縮減為單純的分壓器，這可由公式（7a）證實。顯然，TP分析未能解釋這種物理現實，因此其結果必須予以特別考慮。CNVednc

回歸比（RR）分析是優於TP分析的一種替代方案，可以產生精確而非近似的結果。這種類型的分析如圖4所示，其中T是模擬放大器增益的相關源的回歸比，而a_ft是饋通增益，即相關源的增益設置為零時的增益。該電路的增益表示如下：CNVednc

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要找到電壓跟隨器示例中的T（也稱為環路增益）和a_ft，請參考圖5的交流等效電路。在圖5a中，我們施加一個測試電流i_t，得到回歸電流i_r如下：CNVednc

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g_mv_π源的回歸比T為：CNVednc

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圖4：RR分析示意圖。CNVednc

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圖5：圖中的電路可以算出(a)g_mv_π源的回歸比T；(b)相同源的饋通增益a_ft。CNVednc

在圖5b中，我們利用分壓器公式來表示：CNVednc

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將圖1中的一組值代入公式(8)，即可算出T和a_ft：CNVednc
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這與公式（5）的A_exact值一致。事實上，將公式（9）代入公式（8），可以用一些代數計算來驗證A_RR的表達與A_exact的表達是一致的。但是，從簿記的角度來看，A_RR更有啟發性，因為它分開顯示了由於前饋增益和饋通引起的分量。CNVednc

電流反饋放大器（CFA）實例CNVednc
如果有那麼一個電路受到TP分析局限性的嚴重影響，並且一直是不公正的指責對象，那就是電流反饋放大器（CFA）。CNVednc

參照圖6（上圖），Q₁~Q₄以及Q₁₁~Q₁₄形成兩個相同的單位增益電壓緩衝器，分別具有低輸出電阻r_n和r_o（見圖6下）。由反相輸入節點處的外部電路引起的任何電流不平衡In都會被一對互補Wilson電流鏡Q₅~Q₇以及Q₈~Q₁₀檢測並複製到輸出緩衝器的輸入節點，也稱為增益節點（見圖6下）。在設計良好的CFA中，該節點表現出較大的等效電阻R_eq和較小的寄生電容C_eq。我們通過公式來表達這一想法：CNVednc

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其中r_c7和r_c8是Wilson鏡的輸出電阻，r_b14是輸出緩衝器的輸入電阻。考慮到Wilson鏡的輸出電阻是(1 + β/2)r_o，其中r_o是輸出BJT的集電極交流電阻，並且達林頓型緩衝器的輸入電阻是在輸出負載乘以β²的數量級上，這對於一個設計良好的CFA並不奇怪。CNVednc

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圖6：電流反饋放大器(CFA)示意圖(上圖)及其AC等效電路(下圖)。CNVednc

R_eq比較大(一般在MΩ範圍)，C_eq在pF範圍。如果我們定義：CNVednc

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那麼顯然增益節點電壓是zxI_n。以圖7所示的方式，將1xI_n源、增益節點元素和輸出緩衝器合併成單個電流控制的電壓源，電壓值為zIn，輸出電阻r_o。這裡增加了兩個外部電阻R_G和R_F，使 CFA可完成閉環運算，接下來將進行探討。CNVednc

圖7的電路類似於用傳統運算放大器實現的非反相放大器，主要區別在於，精心設計的CFA中r_n非常小（幾十歐姆或更小），而運算放大器的輸入電阻非常大（兆歐姆或更高）。無論如何，我們觀察到在z → ∞的情況下，可以得到V_n → V_p = V_i，所以可以表示為：CNVednc

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圖7：配置一個非反相放大的CFA。假設CFA的r_n = 25Ω，r_o = 50Ω，R_eq = 500kΩ，C_eq = 1.2732pF。此外，使R_F = 1.25kΩ，R_G = RF/9CNVednc

該電路似乎是串聯-並聯類型，所以我們嘗試用TP分析並將其分成兩個獨立的模塊：（a）基本放大器，但做了相應調整以適應反饋網絡負載，以及（b）無負載的反饋網絡本身。如圖8所示，電流控制電壓源zI_n已被電壓控制電壓源zI_n = z(V_pn/r_n)所取代，使得CFA更接近我們熟悉的運算放大器。通過檢查，我們得出：CNVednc

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因此調整後的增益為：CNVednc
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圖8：為了對圖7中的反饋電路進行TP分析，將其分解成調整的放大器以適應反饋網絡負載，以及無負載的反饋網絡。CNVednc

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用圖7中的數據來計算A_ideal和a_mod，然後插入公式(2)，得到：CNVednc

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之前曾討論過，對於r_n = r_o = 0，公式（2）將給出A = (10V/V)/(1 + R_F/z)，所以根據TP分析，r_n和r_o將對R_F產生影響，從實際值1.25kΩ提高到表觀值1.554kΩ。CNVednc

我們現在希望使用RR分析來得出確切的結果，看看TP分析的近似度如何。參考圖9a，我們有：CNVednc

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因此，通過代數運算可以得到zI_n源的回歸比：CNVednc
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在圖9b中，我們以常規方式處理，可以得到：CNVednc

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用圖7中的數據來計算A_ideal、T和a_ft，然後插入公式(8)，得到：CNVednc

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圖9：利用RR分析來計算(a)zI_n源的回歸比T；(b)相同源的饋通增益a_ft。CNVednc

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請注意，由TP分析提供的RF表觀值現在是1.559kΩ，而不是1.554kΩ。在這個例子中，這種差異非常小，但它仍然表明TP分析只是近似的（而RR分析是準確的）。如果我們使公式（14）和（16）中的z → 0而獲得增益的高頻漸近值，那麼差異就會變得更加明顯。CNVednc

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使用PSpice和圖7的分量值，我們為1V輸入生成如圖10所示的快照。請注意，為了保持10.328V的輸出，相關源需要(10.328V)/(500kΩ) = 20.66uA的控制電流I_N。當I_N ≠ 0，R_F和R_G吸取不同的電流，這會使圖8b中TP分析所假定的無負載反饋網絡無效。事實上，TP分析使用虛構電路，旨在便於通過手工計算估計環路增益。但是，當進行實驗室測量時，我們將面對如圖10所示的真實電路，而不是圖8的虛構電路！CNVednc

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圖10：對應1.0V直流輸入的電壓和電流。CNVednc

電壓反饋還是電流反饋？CNVednc
反饋給CFA反相輸入的信號是什麼樣的？TP分析規定了在輸入端串聯求和的電壓反饋，但事實如此嗎？為了找到答案，我們使用由R.D.Middlebrook開創的雙注入技術，它既適用於SPICE仿真，也適用於實驗室測試。這種技術要求，在使電路處於休眠狀態之後，在興趣點斷開反饋迴路，並分別注入一個串聯測試電壓V_t和一個並聯測試電流I_t。這些激勵會導致電路對正向響應V_f和I_f發生反應，反過來又伴隨著返迴響應V_r和I_r。如果我們讓：CNVednc

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那麼迴路增益T可以在如下條件下得到：CNVednc

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我們想知道反饋到輸入端的是什麼，所以就在反饋網絡與輸入緩衝器的輸出節點交會處，斷開測試信號注入迴路，如圖11所示。圖12中的曲線表示T的構成，包括電流和電壓分量，但是由於T更接近T_i，而不是T_v，所以電流分量佔優勢。事實上，使用PSpice的遊標，我們發現T_i0 = 384.8、T_v0 = 1935.5、T₀ = 320.7的直流值，確實滿足公式（19）。CNVednc

我們想知道反饋路徑上給定點的電流和電壓反饋的混合是由什麼決定的，由T_i和T_v滿足相應條件就可得到答案。CNVednc

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其中Z_f和Z_r分別是從測試信號注入點，前向和反向看到的阻抗。在圖11中，Z_f = r_n = 25Ω且Z_r = R_G//(R_F+r_o) = 125.5Ω，因此證實直流情況下我們有(1 + 384.8)/(1 + 1935.5) ≅ 25/125.5。顯然，只要滿足條件：CNVednc

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將主要是電流反饋。在r_n → 0時，我們將有V_pn → 0，反饋將完全是電流類型。TP分析是不會考慮到這些的，因為無論公式（21）是否滿足，TP分析都只能預測到其虛擬電路的電壓反饋。精心設計的CFA電路一般可以充分滿足公式（21）。實際上，一些CFA在輸入緩衝區周圍使用本地反饋來實現真正的低r_n值。很明顯，術語「電流反饋」對這些器件來說是非常適合的。CNVednc
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圖11：使用電壓和電流注入來獲得圖7電路的環路增益T。CNVednc

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圖12：T_v、T_i和T的頻率曲線。CNVednc

使用傳統運算放大器的電路可以進行雙重論證。圖13所示為流行的I-V轉換器，也稱為互阻放大器。從TP分析的角度來看，這是一種並聯-並聯結構，意味著這是電流類型的反饋。但真是這樣嗎？一個精心設計的I-V轉換器R_F << r_i，所以如果我們為了施加雙注入而在反相輸入引腳處斷開電路，則會遇到條件Z_f >> Z_r(Z_f = r_i，Z_r = R_F + r_o)。通過公式（20）和（19）可以看出，這是明顯的電壓型反饋。若r_i → ∞，反饋將完全是電壓類型。因此，傳統運算放大器也被稱為電壓反饋放大器（VFA），以區別於CFA。另一方面，如果我們使用CFA實現圖13的I-V轉換器，在輸入端滿足條件Z_f << Z_r，則反饋實際上是電流類型，在這種情況下確定為並聯-並聯型是合適的。CNVednc

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圖13：使用傳統運放的並聯-並聯結構：電流反饋還是電壓反饋？CNVednc

總結CNVednc
為便於人工計算環路增益，TP分析將負反饋電路分成兩個虛擬子電路：(a)調整的運放以適應反饋網絡負載；(b)無負載的反饋網絡。但是更改後的電路可能不再反映原電路的確切工作原理，並且由TP分析得出的結果也可能不準確。TP分析在判斷實際反饋到輸入端的信號類型時也可能出錯。CNVednc

在精心設計的VFA電路中，輸入端的反饋主要是電壓類型，即使在TP分析認為輸入端是並聯類型的結構中也是如此，比如圖13的I-V轉換器。若ri → ∞，為測量Ti注入的測試電流只能沿著返回方向流動，因此由公式（19）可以得出，Ti → –Ir/0 = ∞，且T → Tv。CNVednc

相反地，對於精心設計的CFA電路，輸入端的反饋主要是電流類型，即使在TP分析認為輸入端為串聯類型的結構中也是如此，比如圖7的非反相放大器。若rn → 0，為測量Tv而施加的測試電壓只能沿著返回方向延伸，因此由公式（19）可以得出，Tv → –Vr/0 = ∞，且T → Ti。CNVednc

儘管TP分析有局限性，但它能夠對迴路增益做出很好的估算，至少在饋通可以忽略不計的情況下，因此仍有一定價值。然而，若使用TP分析來質疑甚至試圖推翻通過RR分析或雙注入技術所得出的確切結果，註定是失敗的嘗試。遺憾的是，所有企圖抹黑CFA的嘗試都是基於TP分析的。CNVednc

原文刊登在EDN美國網站，參考連結Limitations of two-port analysis of negative feedback circuits。CNVednc

《電子技術設計》2018年8月刊版權所有，禁止轉載。CNVednc