三角函數是數學中屬於初等函數中的超越函數的函數。它們的本質是任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的。其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到複數系。
三角函數公式看似很多、很複雜，但只要掌握了三角函數的本質及內部規律，就會發現三角函數各個公式之間有強大的聯繫。而掌握三角函數的內部規律及本質也是學好三角函數的關鍵所在。
應用學科
數學、物理、地理、天文地理等
適用領域範圍
幾何，代數變換，數學、物理、地理、天文等
目錄1 定義式
2 函數關係
3 誘導公式
4 基本公式
▪ 和差角公式
▪ 和差化積公式
▪ 積化和差公式
▪ 倍角公式
▪ 半角公式
▪ 萬能公式
▪ 輔助角公式
5 其他公式
▪ 正弦定理
▪ 餘弦定理
▪ 降冪公式
▪ 三角和
▪ 冪級數
▪ 泰勒展開式
▪ 萬能公式
▪ 傅立葉級數
編輯
直角三角形
任意角三角函數
正弦（sin）餘弦（cos）正切（tan或tg）餘切（cot或ctg）正割（sec）餘割（csc）表格參考資料來源：現代漢語詞典 [1] ．
編輯
倒數關係：①
；②
；③
商數關係：①
；②
．
平方關係：①
；②
；③
．
編輯
公式一：設
為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：
公式二：設
為任意角，
與
的三角函數值之間的關係：
公式三：任意角
與
的三角函數值之間的關係：
公式四：
與
的三角函數值之間的關係：
公式五：
與
的三角函數值之間的關係：
公式六：
及
與
的三角函數值之間的關係：
記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限 [2] ．即形如（2k+1）90°±α，則函數名稱變為餘名函數，正弦變餘弦，餘弦變正弦，正切變餘切，餘切變正切。形如2k×90°±α，則函數名稱不變。
誘導公式口訣「奇變偶不變，符號看象限」意義：
k×π/2±a(k∈z)的三角函數值．(1)當k為偶數時，等於α的同名三角函數值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函數值的符號；
(2)當k為奇數時，等於α的異名三角函數值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函數值的符號。
記憶方法一：奇變偶不變，符號看象限：
記憶方法二：無論α是多大的角，都將α看成銳角．
以誘導公式二為例：
若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π+α是第三象限的角（終邊在第三象限），正弦函數的函數值在第三象限是負值，餘弦函數的函數值在第三象限是負值，正切函數的函數值在第三象限是正值．這樣，就得到了誘導公式二．
以誘導公式四為例：
若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π-α是第二象限的角（終邊在第二象限），正弦函數的三角函數值在第二象限是正值，餘弦函數的三角函數值在第二象限是負值，正切函數的三角函數值在第二象限是負值．這樣，就得到了誘導公式四．
誘導公式的應用：
運用誘導公式轉化三角函數的一般步驟：
特別提醒：三角函數化簡與求值時需要的知識儲備：①熟記特殊角的三角函數值；②注意誘導公式的靈活運用；③三角函數化簡的要求是項數要最少，次數要最低，函數名最少，分母能最簡，易求值最好。
編輯
二角和差公式
證明如圖：負號的情況只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推導只需把角α對邊設為1，過程與tan(α+β)相同．
證明正切的和差角公式
證明正弦、餘弦的和差角公式
三角和公式
口訣：正加正，正在前，餘加餘，餘並肩，正減正，餘在前，餘減餘，負正弦．
二倍角公式
三倍角公式
證明：
sin3a
=sin(a+2a)
=sin2a·cosa+cos2a·sina
=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
sin3a
=3sina-4sin3a
=4sina(3/4-sin2a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina×2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]×2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a
=4cos3a-3cosa
=4cosa(cos2a-3/4)
=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa×2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]×{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述兩式相比可得：
tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
四倍角公式
sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sin2a-1)]
cos4a=1+(-8×cos2a+8×cos4a)
tan4a=(4×tana-4×tan3a)/(1-6×tan2a+tan4a)
五倍角公式
n倍角公式
應用歐拉公式：
.
上式用於求n倍角的三角函數時，可變形為：
所以
其中，Re表示取實數部分，Im表示取虛數部分．而
所以
（正負由
所在的象限決定）
證明：
由於
，顯然
，且
故有：
編輯
餘弦定理
詳見詞條：正弦定理
在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R．則有 [3] ：
正弦定理變形可得：
詳見詞條：餘弦定理
餘弦定理
對於如圖所示的邊長為a、b、c而相應角為α、β、γ的△ABC，有：
也可表示為：
sin²α=[1-cos(2α)]/2
cos²α=[1+cos(2α)]/2
tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它們的各項都是正整數冪的冪函數, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數， 這種級數稱為冪級數。
泰勒展開式又叫冪級數展開法
實用冪級數：
ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…,x∈R
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
cos x = 1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R
arcsin x = x + x3/(2×3) + (1×3)x5/(2×4×5) + (1×3×5)x7/(2×4×6×7)…+(2k+1)!!×x2k+1/(2k!!×(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表示雙階乘）
arccos x = π/2 -[x + x3/(2×3) + (1×3)x5/(2×4×5) + (1×3×5)x7/(2×4×6×7)……], x∈(-1,1)
arctan x = x - x3/3 + x5/5 -…, x∈(-∞,1)
sinh x = x+x3/3!+x5/5!+…+x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+…+x2k/(2k)!+…, x∈R
arcsinh x =x - x3/(2×3) + (1×3)x5/(2×4×5) -(1×3×5)x7/(2×4×6×7)…, x∈(-1,1)
arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + …, x∈(-1,1)
在解初等三角函數時，只需記住公式便可輕鬆作答，在競賽中，往往會用到與圖像結合的方法求三角函數值、三角函數不等式、面積等等。
傅立葉級數又稱三角級數
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx