【CQF簡筆記】M1L1 The Random Behavior of Assets

2021-02-08 CQF學習站

【一句話總結本課】

正態分布 --->離散時間模型 （Monte Carlo模擬常用）

Wiener Process --->連續時間模型（特別重要）


1. 離散時間模型

φ : a random variable dran from a Gaussian distribution

δt : time step

課程花了點功夫推斷µ、σ與δt的關係：

µ : growth rate / drift rate，scales with δt

σ : standard deviation, scales with

離散時間模型的不同寫法（本質一樣）：

2. 連續時間模型

δt 趨近於0時，引入dt, dS，以及dX（替代）

dX看作一random variable，mean=0，variance = dt（Wiener Process）

 得到一個連續時間的SDE（stochastic differential equation）



【一些補充】

什麼是馬爾可夫過程（markov）

一個隨機過程，只有現值才對預測未來有所影響。以股價為例，如果股價是一個Markov process，那麼現價就已經反映了一切信息了，歷史的數據和路徑都不影響未來價格。

Wiener Process是什麼

        有的教材裡叫布朗運動，也是一種典型的Markov隨機過程。

        性質：

        a. 在時間 δt 發生的變化可以用 dZ=φ 表示， φ 是正態分布；

        b. 在2個時間段中， dZ的變化是相對獨立的


    3. Ito Process  (其中dz是Wiener Process）

            這種形式：dx = a(x,t)dt+b(x,t)dz

            也就是說其實我們上面的連續模型就是個Ito


    3. Ito's Lemma（伊藤引理)

        假設一個變量x符合Ito process, dz是一個Wiener process，

那麼和x和t有關的G方程寫成，其中dz同屬於一個Wiener process




    4. 來推導一下股價的Lognormal性質 

    由上面的2和3可以推得

    使，為t時股票價格，代入上式易得：

µ σ都是定值，的分布是一個正態分布，有著lognormal distribution的性質


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