本篇文章是高等數學中最基礎的有關函數及其導數之間關係的全面演示
我們已經知道了如何定義定積分：
現在假設f(t)在[a，b]上是可積的，如果將a和f(t)保持不變，然後就可以通過以下方式在[a，b]上定義一個全新函數：
我們稱其為不定積分
如果f是正的，f (x)則被稱為面積函數。這也是一元微積分的本質原理
我們說它是不定積分而不是定積分，因為F僅依賴於下限a，不同的a值會導致不同的函數F，但是同一個函數的兩個積分函數之間的差與x無關，它們只差一個常數C
如果f(x)在一個時間間隔內為正，則F(x)（在這種情況下，F(x)為面積）正逐步增加，F(x)的導數正好對應f(x)的函數圖形，如下圖所示
如果f(x)在一個時間間隔內為負，則F(x)所代表的面積正在減小，同樣f(x)的函數圖形正好對應F(x)的導數
如果f(x)= 0，則x是F的臨界點。這個臨界點就是函數F(x)的局部最大值或最小值
如果F(x)=0時，對應的f(x)取最大值，即f(x)導數為0，該點就是F(x)的拐點，這是非常重要的，如下圖形象地說明了這一點
再看如下圖形：f(x)圖形是一個拋物線，那麼與其對應的F(x)圖形就是一個三次函數圖形，而拐點正好對應f(x)的極小值
F(x)和f(x)之間的這三個關係正好是函數及其導數所具有的內在關係，這是非常重要的