我們通過基本的三角法則，並使用歐拉公式，可以對傅立葉級數進行擴展和延伸
我們將傅立葉變換公式進行替換後，就變成了如下的樣式：虛部和實部兩部分積分：
我們如何直觀的理解這個方程式呢？此時的方程式為，函數乘以一個餘弦和正弦曲線，在任意角頻率下，找到兩條曲線下的面積，積分會告訴我們哪些區域代表實部和虛部
角頻率會改變振幅和相位，進一步完成整個傅立葉變換，所以可以將實部和虛部表示成一個直角三角形，
上述的的直角三角形更像是在描述一個單位圓，不同的ω，導致直角邊或正或負，相位角也會隨之而改變
舉一個例子進步來說明，如下是一個矩形函數，我們可以更加直觀的理解傅立葉變換的原理
我們都很熟悉矩形波的傅立葉變換圖譜，看他們是如何對應起來的
我們從3t開始，即3t的正弦和3t的餘弦
除了這些區域外，我們的矩形函數都是0，將方程式相乘會使我們得到相同的結果，從側面將其切掉
右側圖的面積是0，左邊面積大約是0.66，根據勾股定理，結果就是0.66，所以對應的傅立葉變換大小就是0.66
同樣的原理，我們不斷變換ω，並跟蹤相關區域面積的變化，你就會獲得整個傅立葉變換的幅值
注意，右邊圖的的面積總是0，且關於Y軸對稱，因為有正負區域
特別注意傅立葉變換告訴我們兩個有意思的點：ω=0時，左側區域面積等於1，右側等於0，所以對應的傅立葉變換坐標值等於1
在傅立葉變換坐標值等於1時，你可以大致看到原始曲線的區域，即矩形函數及其下面的區域