方波的傅立葉級數和信號中的吉布斯現象

2020-12-16 電子通信和數學

我們現在來確定如下圖波形的傅立葉級數。來獲得它的振幅和相位譜。下圖是一個周期性的方波

我們的目標是得到傅立葉係數a0 an和bn，首先，我們將波形描述為

圖中可知f (t) = f (t + t),因為t = 2,ω0 = = 2π∕t =π。因此，

首先我們確定a0的值等於

接著又可以確定an的值，這些都可以根據傅立葉級數原理公式得到，你會發現an=0

接著確定bn的係數等於

所以我們得到方波的傅立葉級數形式

將各項逐一相加，隨著越來越多的分量相加，和就變成了越來越接近方波。

我們注意到部分和f(t)在不連續點的鄰域上下振蕩，(x = 0,1,2，…)時，存在振動和阻尼振蕩。

在第一幕中，an無論用於近似f(t)的項的數量如何，總是會出現峰值約9%的超調。這叫做吉布斯現象。

最後，我們得到了信號的振幅和相位譜

幅頻特性

相頻特性

相關焦點

  • 吉布斯現象的簡介
    相信現在大一學高數(下)的學生應該已經開始和傅立葉級數作鬥爭了吧，估計大家都會抱怨其積分太複雜，但是我相信有作圖軟體的同學，應該已經嘗試過用三角函數來逼近一些周期函數了。細心的同學應該已經發現了這個現象：將具有不連續點的周期函數進行傅立葉級數展開後，選取有限項進行合成。
  • 快速傅立葉變換檢測信號完整的輸出電流信號的基波
    兩款信號源中，都採用了10mH電感和6.8nF電容組成的諧振選頻迴路，對輸出電流信號中20kHz基波信號進行檢測。通過負反饋的原理來穩定輸出電流信號中基波的幅值。 實驗仍然採用傳統的數位訊號源，輸出所使用的20kHz，100mA的方波交流信號。在信號輸出線中串入一個0.1歐姆的電阻，將電流信號轉變成電壓信號。
  • 傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z 變換的聯繫是什麼?為什麼要進行這些變換?
    在談傅立葉變換之前，先談談傅立葉級數會更容易理解傅立葉變換。在數學中，傅立葉級數（Fourier series）是把類似波的函數表示成簡單正弦波的方式。更正式的說法是，它能將任何周期性函數或周期性信號分解成一個（可能由無窮個頻率分量組成的）簡單振蕩函數的集合，即正弦函數和餘弦函數（或者，等價地使用復指數），從數學的定義來看：設f(t)是一周期信號,假定其周期為T。
  • 傅立葉,請再幫我們一次吧....
    由於IN199的帶寬只有14kHz，它對於電流信號中的高頻信號 有著較大的衰減。下圖中，可以看到在採樣電阻兩端的電壓信號經過INA199差模放大之後，信號的上升沿和下降沿變得光滑了。信號失真是由於它中間的高頻分量被衰減了。
  • 如果看了這篇文章你還不懂傅立葉變換,那就過來掐死我吧(下)
    而傅立葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變為乘法和除法，大學數學瞬間變小學算術有沒有。傅立葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。下面我們繼續說相位譜：通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側面看的頻譜，但是這個頻譜並沒有包含時域中全部的信息。因為頻譜只代表每一個對應的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位。
  • 2021考研初試,高等數學考前必看題型之級數,望學有所獲
    文都數學老師給大家整理了一下考研必考的題型——級數，這是數一和數三考前必看（數二考生不用看）的題型，下面我們就了解一下級數的考試基本情況吧。 考查要點：常數項級數的斂散性判別、冪級數的收斂半徑和收斂域、冪級數的展開和求和、傅立葉級數（只數一要求）。
  • 第一講:另類視野下的形象直觀的傅立葉變換
    我們通過基本的三角法則，並使用歐拉公式，可以對傅立葉級數進行擴展和延伸我們將傅立葉變換公式進行替換後，就變成了如下的樣式：虛部和實部兩部分積分：我們如何直觀的理解這個方程式呢？此時的方程式為，函數乘以一個餘弦和正弦曲線，在任意角頻率下，找到兩條曲線下的面積，積分會告訴我們哪些區域代表實部和虛部角頻率會改變振幅和相位，進一步完成整個傅立葉變換，所以可以將實部和虛部表示成一個直角三角形，上述的的直角三角形更像是在描述一個單位圓，不同的ω，導致直角邊或正或負，相位角也會隨之而改變
  • 信號分析基礎 | 信號表達方式——時域和頻域
    在分析信號解決問題時，模態域、時域和頻域是可以互換的，可以將信號進行域之間的轉化，這其中的好處是：在時域視角難以解決的問題，轉換成頻域或模態域後通常可以變得非常清晰。之前我們了解了模態域（信號分析基礎 | 信號表達方式——模態域），今天來聊一聊時域和頻域。在時域中觀察信號是一種最傳統的方法。時域是指對系統中某個參數隨時間變化的記錄。
  • 吉布斯的年終總結
  • 2020安徽專升本高數:調和級數、幾何級數、P 級數和交錯級數
    2020安徽專升本高數：調和級數、幾何級數、P 級數和交錯級數 高等數學：調和級數、幾何級數、P 級數和交錯級數
  • 多項式乘法與快速傅立葉變換
    兩個多項式A（x）與B（x）相乘的過程中，FFT用A（x）中偶數下標的係數與奇數下標的係數，分別定義了兩個新的次數界為n/2的多項式A[0]（x）和A[1]（x）：A[0](x) =a0 +a2x +a4x2 +··· +an-2xn/2-1,A[1](x) =a1 +a3x +a5x2 +··· +an-1xn/2-1.
  • 熱烈歡迎【吉布斯】成為智慧安防商會​副會長單位!
    2019年，公司名稱源於被愛因斯坦稱之為「美國歷史上最傑出英才」的著名物理學家吉布斯吉布斯研發團隊在清華博士、MIT博士等專家帶領下深耕安防，智慧識別領域十餘年，有著豐富的計算機視覺技術與人臉識別、紅外測溫研發和應用開發的經驗。
  • 配電級數和保護級數是什麼意思?兩者的概念是什麼?快來了解一下
    配電級數和保護級數的概念。在滿足規範要求時，應儘量減少配電級數，對於不同性質的負荷，保護的選擇性也有區別，不能無條件實現選擇性而增加成本，也不能在重要的負荷中不考慮選擇性反而會降低供電的可靠性。供配電系統進行設計應力求系統簡單、保護級數和配電級數設置合理，做到保障人身安全、供電可靠、技術先進和經濟合理，電氣設計在線教學狄老師。
  • 吉布斯的世界你們無法理解
    我正在看的書是美國科學家N﹒維納的《人有人的用處——控制論和社會》。維納是控制論的創始人之一，和申農等人提出了資訊理論。在上個世紀中葉，具有重大影響力的三大科學理論中（系統論、資訊理論和控制論），維納獨佔其二。1949年，他的專著《控制論》風靡了世界，使科學界用一種全新的，更抽象的方式來認知這個世界。