每日進階之奧數解題思路詳解系列三
圖示法解決乘法問題
例題：小白兔上山採摘了許多蘑菇。它把這些蘑菇先平均分成4堆，3堆送給它的好朋友，自己留1堆。後來它又把留下的這一堆平均分成3堆，將2堆儲藏起來，自己吃1堆，自己吃的這一堆有12個蘑菇。小白兔一共採摘了多少個蘑菇?
思路導引：可以用下圖表示出題目的意思。
從圖上不難看出小白兔自己留的1堆的個數是3個12，先求出這一堆是12×3=36(個)，再乘4就能求出小白兔原來一共採摘的個數。
完全解答：12×3=36(個)
36×4=144(個)
答：小白兔一共採摘了144個
點評：此題運用圖示法能清晰地表示出題中的數量關係，從而輕鬆解題。對於這種題目中文字敘述比較繁瑣、不能直接看出數量間的關係的，一般都藉助直觀圖來幫助理解。
練一練
1.張叔叔從水果生產基地拉回一車蘋果，他把這車蘋果先平均分成3份，將其中的2份送往附近的超市，自己留下1份。然後他將留的1份又平均分成13份，自己留下1份。自己留下的這一份11個，其餘的全部分給親戚朋友。張叔叔一共拉回多少個蘋果?
2.大猴採了許多桃，它把這些桃先平均分成4堆，3堆送給小猴們吃，自己留1堆。後來又把留下的1堆平均分成5堆，將4堆給其他大猴吃，自己吃1堆，自己吃的這一堆有21個桃。它一共採了多少個桃?
抓住不變量解決實際問題
例題：甲倉庫存糧230噸，乙倉庫存糧220噸。要從甲倉庫運多少噸糧到乙倉庫，才能使乙倉庫的存糧噸數是甲倉庫的2倍?
思路導引：根據甲倉庫和乙倉庫存糧的噸數，可以知道甲、乙兩倉庫一共存糧多少噸。從甲倉庫運糧到乙倉庫，雖然甲、乙兩倉庫的存糧發生了變化，但存糧的總量並沒有改變(如下圖)。
把甲倉庫現在的存糧看作1份，乙倉庫現在的存糧就有這樣的2份，甲、乙兩倉庫一共有這樣的3份，用總噸數除以3就可以求出這樣的1份，即甲倉庫現在存糧的噸數，與甲倉庫原來存糧的噸數相比較，就可以求出運給乙倉庫的噸數。
全解答：230+220=450(噸)
1+2=3
450÷3=150(噸)
230-150=80(噸)
答：要從甲倉庫運80噸糧到乙倉庫。
點評：此題中從甲倉庫往乙倉庫運糧前後甲、乙倉庫存糧的總量沒有發生變化，這是解題的關鍵。在解答這類問題時尋找不變量，根據不變量來題是常用的解題方法。
練一練
1.有甲、乙兩桶水，甲桶裡有水30千克，乙桶裡有水46千克。現在從甲桶裡倒一部分水給乙桶，乙桶裡的水的質量正好是甲桶裡的3倍。從甲桶倒給乙桶多少千克水?
2.學校有兩個科技小組，第一小組有32人，第二小組有28人。學期中途進行了一次重新調整，從第二小組調了一批人去第一小組，現在第一小組的人數是第二小組的2倍。第一小組增加了幾人?
用「倒推法」解決實際問題
例題：小敏、小麗和小蘭一共有90本圖書，如果小敏向小麗借4本，再借給小蘭12本，三人擁有圖書的本數就一樣多。三人原來各有多少本?
思路導引：要求三人原來各有多少本，就要從三人現在擁有的本數開始想起。現在三人一共有90本，而三人本數一樣多，所以每人有90÷3=30(本)。根據「如果小敏向小麗借4本，再借給小蘭12本，三人擁有圖書的本數就一樣多」，可以知道：
這樣只需要根據每人的不同情況進行倒推計算就可以了。
完全解答：90÷3=30(本)
小敏：30+12-4=38(本)
小麗：30+4=34(本)
小蘭：30-12=18(本)
答：小敏原來有38本，小麗原來有34本，小蘭原來有18本
點評：倒推法是邏輯思維中的基本思想，是當順向思維難以解答時，可以從結果去逆向推測的思考方法。本題就是根據題意從最後三人的本數入手，逆向推理、分析，從而順利解題。
練一練
1.媽媽買了24塊糖果分給哥哥和妹妹。如果哥哥給妹妹2塊，妹妹再給哥哥3塊，兩人就一樣多。哥哥和妹妹原來各有多少塊?
2.三隻籠子裡共養了18隻兔子，如果從第一隻籠子裡取出4隻放到第二隻籠子裡，再從第二隻籠子裡取出3隻放到第三隻籠子裡，這樣三隻籠子裡的兔子就一樣多了。三隻籠子裡原來分別有多少只兔子?
用等量代換法解決實際問題
例題：張老師購買了3個書包和2支鋼筆共用去96元，已知1個書包的價錢與2支鋼筆的價錢相等，1個書包和1支鋼筆的價錢各是多少?
思路導引：根據題意可知，
①3個書包的價錢+2支鋼筆的價錢=96元；
②1個書包的價錢=2支鋼筆的價錢。
思路一：將①式中的3個書包換成價錢相等的若干支鋼筆，根據②式可知，3個書包可以換成3×2=6(支)鋼筆，等式①就變成6支鋼筆的價錢+2支鋼筆的價錢=96元，這樣就能求出1支鋼筆的價錢，再乘2，可求得1個書包的價錢。
思路二：將①式中的2支鋼筆換成價錢相等的若干個書包，同樣根據②式可知，2支鋼筆正好可以換成1個書包，等式①就變成3個書包的價錢+1個書包的價錢=96元，這樣就能求出1個書包的價錢，再除以2，可求得1支鋼筆的價錢。
完全解答；
方法一：
3×2=6(支)
96÷(6+2)
=96÷8
=12(元)
12×2=24(元)
方法二：
96÷(3+1)
=96÷4
=24(元)
24÷2=12(元)
答：1個書包24元，1支鋼筆12元。
點評：解答此類題目時，要先找出題目中的數量關係，然後用一個未知量代替另一個未知量進行解題。
練一練
1.工地上運輸隊正在運石子，2輛大貨車和2輛小貨車一共可以運石子36噸，1輛大貨車運的量相當於2輛小貨車運的量。每輛大貨車和小貨車各運多少噸?
2.體育老師買了3個足球和1個籃球，一共用去210元。已知買1個足球的錢可以買2個籃球，每個足球和籃球分別是多少元?
周期問題
例題：2015年12月1日是星期二，2016年12月1日是星期幾?
我們知道，一個星期有7天，也就是以7天為一個周期不斷地重複。12月1日是星期二，那麼再過7天是8日，還是星期二。所以要求2016年12月1日是星期幾，就要先求出2016年12月1日是2015年12月1日後的第幾天。2016年是閏年，2月有29天，2015年12月1日後再經過366天就是2016年12月1日，366-7=52(個)……2(天)。從2015年12月1日開始經過52個星期，最後一天還是星期二，從這最後一天再過2天就應該是星期四。
完全解答：366÷7=52(個)……2(天)
答：2016年12月1日是星期四。
點評：如果兩個日期的差正好是7的倍數，那麼這兩個日期的星期數相同：如果有餘數，是幾個星期零幾天，那麼就從起始日期的星期幾往後推出餘下的天數。計算天數時，可採用「算頭不算尾」或"算尾不算頭」的方法。
1.暑假裡陽陽一家去內蒙古大草原遊玩，7月28日出發，8月13日到家。已知7月28日是星期日，他們到家那天是星期幾?
2.2019年6月3日是星期一，2019年8月7日是星期幾?