又到了一年一度的高考季，還記得那本「燦爛在六月」嗎？高考這個詞，伴隨著我們青春與回憶，承載著我們曾經的理想與期許。高考就像一份期權，只是標的走勢就像每個學生十年寒窗的努力。記得在高中的時代裡，我們曾經上知天文，下知地理，我們能背好多詩詞，也能分析運動軌跡。曾經，從不等式到複數，從指數對數到三角函數，從解析幾何到排列組合，我痴迷於那些極富想像的數學原理。或許我們會認為生活中的數學就是加減乘除，或許我們很難想像高中時代的數學會在日常生活中發揮什麼作用，但讓我們吃驚的是，當我們有一天需要進階交易期權時，當我們需要深究期權背後的那些原理和邏輯時，高中數學的影子便會無處不在。
1、期權盈虧圖——雙曲線的漸近
還記得每一本期權教科書上都會畫出的期權到期盈虧圖嗎？買認購、賣認沽、買認沽、賣認購！這些圖很直觀，方便人們從圖形的角度搞清期權到期的收益情況，而發明它的人正是一位法國人——勒菲弗（Lefevre）。19世紀70年代，勒菲弗發明了這種理解期權的幾何學方法，它的最初目的只是用於教育，但很快地，他就意識到這個方法具有非常實際的應用價值。通過畫線，投資者們就能很快地知道他們的交易結果，也能夠畫出任何一組期權組合的盈虧結果，這一方法沿用到今天！
這些圖的背後蘊含著一個重要的數學思想——它叫做「數形結合」，在高中數學裡，一提到數形結合，就會想到解析幾何，一個號稱由數學家笛卡爾做夢所創造的數學分支。在解析幾何中，不知您還是否記得雙曲線這類曲線，不同於橢圓和拋物線，雙曲線是具有漸近線的，也就是隨著某個參數的變化，雙曲線會逐步地、無限地趨近於它的漸近線。再想想期權的價格是不是就是這樣呢？Completely yes！從下面這張圖中，您就會發現紅色的實線是期權在到期前的價格曲線，藍色的虛線時期權在到期時刻的價格曲線，我們平時提前平倉的盈虧都是基於紅色的實線的，而非藍色的虛線，隨著到期日的臨近，提前平倉損益的曲線會逐漸逼近到期平倉的損益曲線，這背後的內在邏輯就是期權價格曲線本質上是雙曲型的曲線。
2、期權BS定價公式——指數、對數與正態的同體
1973年是期權歷史裡劃時代的一年，因為同年發生了兩件大事。一件是兩位芝加哥大學的教授費舍爾.布萊克和邁倫.斯科爾斯（F.Black and M.Scholes）發表了《期權、權證和其他證券的一個理論定價公式》，這一論文中推導了著名的期權BS理論定價公式，同年羅伯特.默頓（R.Merton）的在《理性期權定價理論》一文中殊途同歸，也推導出了期權的定價公式，這一成果在1997年被授予了諾貝爾經濟學獎，這個公式直至今日都是每個期權交易端裡必備的理論價格計算器，也是大部分做市商確定買賣報價的中樞價格。
那麼這個期權的定價公式中又蘊含著哪些高中裡的數學呢？我們不妨把BS公式好好地寫一遍出來：
在整個BS公式的表述中，您會看到太多過去中學裡的影子，一個短短的公式裡有著高一年度裡的指數函數（以e為自然底的指數函數），對數函數（以e為自然底的對數函數），還有在高三學期中所提及的正態分布函數（N（.））。當我們用二叉樹離散的算法逼近期權BS定價時，數列極限的思維悄然起到了關鍵的作用，當我們把認購價格減去認沽價格時，我們又能神奇地得出期權的平價公式。一想到我們在進行「權利」的遊戲時，交易的價格裡都蘊藏著exp，ln和N（.）這樣的函數，是不是頓時覺得期權的交易有一種特別高大上的感覺。
3、隱含波動率——反函數與二分法
期權的隱含波動率，一個神秘的類似於「股票市盈率」的變量，通俗地說它其實就代表著每一個期權合約的供求關係，一份期權合約買的人多了，期權價格就會上漲，導致其隱含波動率出現上升，一份期權合約賣的人多了，期權價格就會下跌，導致其隱含波動率出現下降。於是，把每一個期權合約的隱含波動率看成點，「一顆兩顆三顆四顆」，不同行權價的波動率就連成了一條波動率曲線，這就是著名的波動率偏斜曲線（Volatility Skew Curve）。
對於BS隱含波動率，按標準化的說法它是期權市場價格通過BS公式反推而得的波動率。從中，我們所能看到的是高中時代反函數的概念，以及二分法的算法。把其他變量看成常數的情況下，如果期權價格是波動率的正函數，那麼隱含波動率就是期權價格的反函數，只是期權BS公式關於隱含波動率的反函數沒有顯性的表達式，所以實盤中，包括各大交易軟體背後都會運用類似高中時代的二分法去計算每個期權合約的隱含波動率。
隱含波動率的升級版指標就是波動率指數，在一般投資者平時對波動率指數的運用中，我們也一直會涉及一些諸如中值回歸、極端分位數、偏度斜率等統計知識，這些也都是高中時代那些無處不在的數學原理。
4、Delta與Gamma——奇函數與偶函數的轉換
期權是標的資產的衍生產品。兩者之間就像是「父子」一樣，父親的一舉一動無時無刻不在影響著孩子的行為。父親的這種影響力就是Delta。
以50ETF為例，當ETF價格發生變化時，期權價格也會隨之改變。ETF與期權之間的價格關係可以用Delta來刻畫：當ETF價格變化0.001元時，對期權價格的影響就是0.001*Delta元。
認購期權是「乖孩子」，當「父親」ETF價格上漲的時候，認購期權價格也會上漲，認購期權的Delta大於零；而「壞孩子」認沽期權則恰恰相反，當ETF價格上漲時，認沽期權的價格反而是下跌的，它的Delta小於零。
然而，不管是「乖孩子」還是「壞孩子」，總是會受父親的影響，但父親的影響力並非一成不變。Gamma就是用來描述父親影響力變化的。用數學語言來說， Gamma就是Delta隨標的價格變化而變化的幅度。即當ETF價格變化0.001元時，Delta變化0.001*Gamma。
以買入單腿認購期權為例：
在上圖中，您會發現delta非常類似我們高中時代提及的奇函數，gamma則非常類似過去提及的偶函數，奇函數是中心對稱的圖形，偶函數則是軸對稱的圖形。由於Delta類似於高中物理中速度的概念，而Gamma則類似於加速度的概念，Delta和Gamma的關係正好相差一階導數，因此我們立刻可以聯繫到這樣的一個原理，那就是「奇函數的一階導數是偶函數，偶函數的一階導數是奇函數」，基於這個原理，我們就可以根據任何一種期權組合Delta的圖形，極速地畫出這一組合的Gamma圖形。
舉兩個例子，比如，下圖左側是牛市價差策略的Delta圖形，它就很像cos(x)餘弦函數一樣的偶函數，於是牛市價差策略的Gamma圖形，就會很像右側所示的，類似sin(x)正弦函數一樣的奇函數。
又如，下圖左側是買入日曆策略的Delta圖形，它就很像sin(x)正弦函數一樣的奇函數，於是買入日曆策略的Gamma圖形，就會很像右側所示的，類似cos(x)餘弦函數一樣的奇函數。
最近三期的文章回顧：
1、越是遇到降波時，越得理解雙賣背後的那些事（附統計數據）
2、愛智篇：學期權的正確路徑是為了一個體系
3、解惑篇：牛市通道的信心多少，期權調倉的比例多少？
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（責任編輯： HN666）