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前幾天發了兩篇關於高中數學數列的文章，有同學談到題目不涉及放縮，難度只和浙江高考第一小問相當。今天我們來討論一道2019年浙江高考的數列真題，題目如下：
這一道題分值挺大的，但是沒有作為壓軸題出現。題目的第一問讓我們求 {an}，{bn} 的通項公式，題目已知數列 {an} 為等差數列，又有 a3 = 4 ，a4 = S3, 所以很容易就能算出 {an} 的通項公式：
設 {an} 的公差為 d ， 並將 a4 和 S3 都表示為 a3 ，代入a4 = S3 中，很容易算出 d = 2，所以 an = 2n + 常數 ，然後將 a3 = 4 代入得到 an = 2n - 2。題目又已知了Sn + bn, Sn+1 + bn, Sn+2 + bn 成等比數列，所以有：
其中 Sn 為等差數列 {an} 的前 n 項和，所以 sn = n(n+1)（sn很好求，這裡就直接給出結果了 ），並把 sn 代入上式有：
上面計算過程看起來很複雜，其實非常簡單，計算過程中充分利用小學就學到的分配律和結合律，計算就很簡單。這樣 bn 也算出來了，第一小問很簡單，沒有什麼難度。主要看第二小問，第二小問中通過 an 和 bn 構造出 cn ，並要求證明：
這裡就涉及到所謂的放縮了，放縮其實就是找到一個中間值，讓這個中間值大於（大於等於）不等式左邊的這個值，然後小於（小於等於）右邊的這個值，這往往是不容易的。首先我們觀察左邊 cn ，cn 的前 n 項和是求不出來的，所以我們考慮：
如果上面不等式成立的話，那麼說明只要 n 滿足不等式，那麼 n + 1也會滿足不等式，所以只需要 n=1 滿足不等式（顯然成立），所有的正整數 n 都會滿足不等式，上面的不等式就得證了，這是數學歸納法。接下來的關鍵是上面的不等式是不是成立的，我們觀察不等式的兩邊：
仔細觀察之後，不難發現這個中間值就是：
這是因為：
所以有：
顯然第一項滿足不等式，無論是用數學歸納法，還是將 不等式的兩邊求 n 項和都能證明不等式，這裡就不贅述了。
小結
這是一道浙江省2019年高考數學真題，第一小問比較常規，大部分考生都能做出來，第二小題稍微有一點拔高，但是也不是很難，儘管涉及到數列的放縮了，但相對還是比較簡單的，高考中，如果數列題沒有出現在壓軸題位置的話，一般也不會太複雜。就算是壓軸大題，就算我們有不會做的時候，也不至於一分不得。
放縮的本質是找到一個合適的中間值，而找這個中間值需要我們仔細對比不等式是兩邊，碰到本次這種不能直接求和的情況，最好化成單項進行比較。
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