歐拉公式
提出者介紹：萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士數學家、自然科學家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國聖彼得堡去世。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的影響。13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲得碩士學位。歐拉是18世紀數學界最傑出的人物之一，他不但為數學界作出貢獻，更把整個數學推至物理的領域。他是數學史上最多產的數學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學界中的經典著作。歐拉對數學的研究如此之廣泛，因此在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。此外歐拉還涉及建築學、彈道學、航海學等領域。瑞士教育與研究國務秘書Charles Kleiber曾表示：「沒有歐拉的眾多科學發現，我們將過著完全不一樣的生活。」法國數學家拉普拉斯則認為：讀讀歐拉，他是所有人的老師。2007年，為慶祝歐拉誕辰300周年，瑞士政府、中國科學院及中國教育部於2007年4月23日下午在北京的中國科學院文獻情報中心共同舉辦紀念活動，回顧歐拉的生平、工作以及對現代生活的影響。
基本簡介：在任何一個規則球面地圖上，用 R記區域個數 ，V記頂點個數 ，E記邊界個數 ，則 R+ V- E= 2，這就是歐拉定理 ，它於 1640年由 Descartes首先給出證明 ，後來 Euler(歐拉 )於 1752年又獨立地給出證明我們稱其為歐拉定理 ，在國外也有人稱其 為 Descartes定理。
把復指數函數與三角函數聯繫起來的一個公式，，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將指數函數的定義域擴大到複數，建立了三角函數和指數函數的關係，它不僅出現在數學分析裡，而且在複變函數論裡也佔有非常重要的地位，更被譽為「數學中的天橋」。這三個公式分別為其省略餘項的麥克勞林公式，其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式。，，然後採用兩式相加減的方法得到：，.這兩個也叫做歐拉公式。將中的x取作π就得到：這個恆等式也叫做歐拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數字聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1；以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」。幾何學的一門分科。研究幾何圖形經過連續形變後仍能保持的性質。包括點集拓撲、代數拓撲、微分拓撲等分支。在代數拓撲中，歐拉示性數（Euler characteristic）是一個拓撲不變量（事實上，是同倫不變量），對於一大類拓撲空間有定義。它通常記作。其中V、E和F分別是點、邊和面的個數。特別的有，對於所有和一個球面同胚的多面體，我們有( 1)當 R= 2時 ，由說明 1,這兩個區域可想像為 以赤道為邊界的兩個半球面 ，赤道上有兩個「頂點」 將赤道分成兩條「邊界」，即 R= 2，V= 2，E= 2；於是 R+ V- E= 2,歐拉定理成立.。( 2)設 R= m(m≥ 2)時歐拉定理成立 ，下面證明 R= m+ 1時歐拉定理也成立 。由說明 2，我們在 R= m+ 1的地圖上任選一個 區域 X ,則 X 必有與它如此相鄰的區域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之間的唯一一條邊界後 ，地圖上只有 m 個區域了；在去掉 X 和 Y 之間的邊界後 ，若原該邊界兩端 的頂點現在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點 ，則 該頂點保留 ，同時其他的邊界數不變;若原該邊界一 端或兩端的頂點現在成為 2條邊界的頂點 ，則去掉 該頂點 ,該頂點兩邊的兩條邊界便成為一條邊界 。於 是 ,在去掉 X 和 Y之間的唯一一條邊界時只有三種 情況：即在去掉 X 和 Y 之間的邊界時 ,不 論何種情況都必定有「減少的區域數 + 減少的頂點數 = 減少的邊界數」我們將上述過程反過來 (即將 X 和 Y之間去掉的邊 界又照原樣畫上 ) ，就又成為 R= m+ 1的地圖了 ，在 這一過程中必然是「增加的區域數 + 增加的頂點數 = 增加的邊界數」。因此 ，若 R= m (m≥2)時歐拉定理成立 ，則 R= m+ 1時歐拉定理也成立。由 ( 1)和 ( 2)可知 ,對於任何正整數 R≥2,歐拉 定理成立。第一個歐拉公式的嚴格證明，由20歲的柯西給出，大致如下：從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網絡。不失一般性，可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點、邊和面的個數保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應網絡的外部。)重複一系列可以簡化網絡卻不改變其歐拉數（也是歐拉示性數）的額外變換。若有一個多邊形面有3條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數各減一而保持頂點數不變。（逐個）除去所有和網絡外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。重複使用第2步和第3步直到只剩一個三角形。對於一個三角形（把外部數在內），。所以。設想這個多面體是先有一個面，然後將其他各面一個接一個地添裝上去的。因為一共有F個面，因此要添(F-1)個面。考察第Ⅰ個面，設它是n邊形，有n個頂點，n條邊，這時E=V，即稜數等於頂點數。添上第Ⅱ個面後，因為一條稜與原來的稜重合，而且有兩個頂點和第Ⅰ個面的兩個頂點重合，所以增加的稜數比增加的頂點數多1。因此，這時E=V+1。以後每增添一個面，總是增加的稜數比增加的頂點數多1，例如增添(F-2)個面後，有關係E=V+ (F-2)。最後增添一個面後，就成為多面體，這時稜數和頂點數都沒有增加。因此，關係式仍為E=V+ (F-2)。即這個公式叫做歐拉公式.它表明2這個數是簡單多面體表面在連續變形下不變的數。當r=0或1時式子的值為0，當r=2時值為1，當r=3時值為a+b+c。設△ABC的外心為O，內心為I，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，又記外心、內心的距離OI為d，則有（2）式左邊是點I對於⊙O的冪：過圓內任一點P的弦被P分成兩個部分，這兩個部分的乘積是一個定值，稱為P關於⊙O的冪。事實上，如圖3.21，如果將OI延長交圓於E、F，那麼為了證明（5）式，應當尋找兩個相似的三角形。一個以長IA、r為邊；另一個以長2R、MI為邊。前一個不難找，圖3.21中的△IDA就是，D是內切圓與AC的切點。後一個也必須是直角三角形，所以一邊是直徑ML，另一個頂點也應當在圓上。△MBL就滿足要求。眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數之間的關係。現將歐拉這個頗有價值的公式列在這裡：其中，f表示我們施加的力，F表示與其對抗的力，e為自然對數的底，k表示繩與樁之間的摩擦係數，a表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。設G為n階m條邊r個面的連通平面圖，則n-m+r= 2，此公式稱為歐拉公式。可以通過歸納法證明，且證明方法和拓撲學中的類似，此處略去。儘管和拓撲中的歐拉公式十分相似，但圖論在現代一般劃分在離散數學的研究範疇內，因此在這裡單獨列出。
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