在這篇文章中，我們將探索歐拉公式，解釋它是什麼，它從哪裡來，並揭示它神奇的性質。
歐拉公式是什麼？
歐拉公式是歐哈德·歐拉在十八世紀創造的，是數學界最著名、最美麗的公式之一。之所以如此，是因為它涉及到各種顯然非常不同的元素，比如無理數e、虛數和三角函數。
讓我們看看它是什麼樣的：
歐拉公式正如我們所看到的，左邊是e，右邊是cos和sin三角函數，兩邊都有虛數i。在我們從微積分和幾何的角度研究這個公式之前，讓我們先看看這個瘋狂的關係是從哪裡來的。
歐拉公式的歷史
1714年，英國物理學家和數學家羅傑·柯茨在一個公式中建立了對數、三角函數和虛數之間的關係。
二十年後，萊昂哈德·歐拉用指數函數代替對數得到了同樣的公式。柯茨的公式如下：
羅傑·柯茨公式從柯特公式到歐拉公式我們只需要在兩邊都應用指數。為了將歐拉公式轉化為柯特公式，我們用對數反轉這個過程。
奇怪的是，每個公式的作者都沒有看到它的幾何含義，而這正是從這些公式中可以得到的最令人著迷的東西之一。下圖展示了一個複平面，我們將在這裡看到這些幾何內涵。
複平面，周長為1在此之前，你應該知道，如果我們把歐拉公式的值特殊化為：θ= π，我們得到了著名的歐拉恆等式。
歐拉恆等式
如前所述，如果我們設θ= π，歐拉公式就變成了歐拉恆等式。
現在我們知道了歐拉公式和歐拉等式是什麼，讓我們把前者分解成單獨的元素，然後探究為什麼它是一個如此神奇的方程。
餘弦和正弦
正弦和餘弦是周期為2π的三角函數。這意味著每2個π它們都回到相同的值。下圖顯示了這些函數：
sin(左)和cos(右)函數如果我們看一個直角三角形，角的正弦和餘弦可以用這個三角形的邊長來計算，像如下圖所示：
利用直角三角形的邊長計算餘弦和正弦的值虛數
最初，人們發明數字是為了記錄整個物體的數量，這就是自然數的概念。然後，需要一種機制來跟蹤某人何時欠了另一個人整件物品。整數誕生了，它是自然數向負數的延伸。
在此之後，需要跟蹤整個對象的部分，從而產生了有理數。最後，在數學中發現了描述分數的數字，這些分數的小數部分永遠存在，於是無理數誕生了。前面所有的數字都屬於實數的範疇。
但虛數的性質完全不同。虛數一誕生，就被認為是一種數學工具用來處理負數的平方根。i——表示虛數的字母，等於-1的平方根：
虛數i的值直到歐拉出現，才用這個字母表示-1的平方根，並開始被認為是通用的。此後，它自然出現在各種物理問題中，如電磁定律，或波動動力學。
無理數e
數學常數e是數學中最重要的數字之一。這個常數，儘管它的名字來自歐拉，有時也被稱為歐拉數，在這位著名的數學家推廣它之前就被發現了。
具體來說，它是由著名的雅各布·伯努利於1683年在研究複合效應和關於投資隨時間指數增長的不同計算時首創的。從這個角度，著名數e計算為：
e的計算這個極限收斂，都知道值約為2.71828。
儘管這個常數非常重要，但歐拉公式的魔力並不是來自這個精確的值，而是來自這個字母的名字所竊取的函數——指數函數。
指數函數
歐拉公式和實數
指數函數的一般概念是重複乘法：
重複乘法但是，當我們想到指數是一個平方根，一個負數，一個分數，或者一個虛數時，會發生什麼呢？重複乘法的概念不再適用。只有當指數為正整數時，它才成立。
指數函數更精確地定義為以下級數，即著名的泰勒級數之一，我們稱之為exp(x)：
再說一次，儘管這個級數看起來是無限的，但它是收斂的，因為每個分數的分母比分子增長得快得多，而且這個函數本身有一些驚人的性質讓我們能夠解釋分數指數和負指數的值。
我們知道e的值約為2.71828，是當我們把x = 1輸入這個指數函數時，得到exp(1) = e。
這個函數最基本最神奇的性質是輸入的乘法等於輸出的加法：
輸入相加等於輸出相乘你自己試試吧。得到一個計算器和計算以下：
exp (3) = 20.0855epx (4) = 54.5981exp (3) exp (4) = 1096.6331exp(3 + 4) = exp(7) = 1096.6331這一點都不平凡，可能沒有人會通過看泰勒級數就猜到它。然而，這是一個很棒的性質，它允許我們回答前面的一些問題。
1.將一個數取冪為1/2意味著計算該數的平方根。怎麼會這樣呢？我們用指數函數之前的性質來計算。
指數分數exp(1/2 + 1/2)等於exp(1)也就是e。exp(1/2 + 1/2)也等於exp(1/2)exp(1/2)。所以exp(1/2)等於e因此exp(1/2)等於e的平方根。
2.將一個數取冪為0等於1。這要歸功於多項式泰勒級數當x = 0時。
3.將一個數取冪到-1等於1除以那個數。只要知道exp(0) = 1就可以很容易地推導出來。
一個負數的指數現在，當我們在exp函數中插入一個虛數會發生什麼呢
歐拉公式和複數
要想看到這樣做的結果，我們需要回到複平面。讓我們計算單位圓上的複數，用粉色表示。
複平面假設我們有之前的虛數，用歐拉公式描述並在複平面中用橙色點表示。
如果我們給指數函數一個虛數作為參數，會發生什麼？exp(iθ)是什麼？
iθ的指數函數的前四個元素讓我們選擇一個特定的值，看看會得到什麼。取θ = 1，計算exp(i)的前20個元素，得到複數：0.5403 + 0.8414i。這和我們從歐拉公式中得到的值是一樣的。
很有趣的是，隨著在泰勒級數中加入越來越多的相，這個計算就變得更加精確了，幾何上是怎麼做的。下面的列表顯示了，當我們考慮到前面系列中越來越多的項時，exp(i)的值是如何變得越來越精確的。
泰勒級數中有1項的exp(i)值：1泰勒級數中有2項的exp(i)值：1 + i泰勒級數中有3項的exp(i)值：0.5 + i泰勒級數中有4項的exp(i)值：0.5 + 0.83333i泰勒級數中有5項的exp(i)值：0.541666 + 0.83333i泰勒級數中有6項的exp(i)值：0.541666 + 0.841666i泰勒級數中有7項的exp(i)值：0.5402777 + 0.841666i泰勒級數中有8項的exp(i)值：0.5402777 + 0.841468i泰勒級數有9項的exp(i)值：0.5403025 + 0.841468i現在，讓我們看一些更酷的東西。下面的圖顯示了當我們增加泰勒級數中考慮的項的數量時exp(i)的值的曲線。每條黃線結束於用這麼多元素計算出的複數的值，並表示對前一條的額外添加。
複平面和exp(i)的值。最後，在添加了5項之後，我們可以看到我們非常接近單位圓上的真實值。我們可以看到，形成了一種螺旋，它越來越接近最終的指數值，我們可以用歐拉公式來驗證。這太棒了，它告訴我們一些關於指數的美妙之處。
如果我們使用足夠的多項式級數的項exp(iθ) 最終總是在單位圓上，繞著它旋轉了一個弧度。
如下圖所示，與之前的圖相同的是不同的數值。
從前面的圖中我們可以看到，如果使用了足夠的項，exp(iθ) 總是在單位圓中結束。對於任意的值，如果我們在多項式級數中取足夠的項這總是會發生的，只要把這些表示級數中額外元素的黃線相加，旋轉和相乘就行了。
另外，您可能已經注意到，在最後一幅圖中，我們所繪製的是歐拉恆等式。讓我們恢復公式，因為這最後的部分也包含一些美麗東西：
如果我們代入(θ=π)，我們得到歐拉恆等式，數學和幾何告訴我們：常數e的iπ次方為-1，沒有虛部，也就是公式的右邊。
幾何上，正如我們看到的，這都是通過旋轉向量並乘以它們的長度來實現的。
這完全令人困惑！產生這個的一個主要原因是，在複平面上當我們將一個數乘以i時會發生什麼。乘以i意味著從原點繞單位圓旋轉90，如下圖所示：
結論
歐拉公式是當今最美麗的公式之一。它完美地連接了許多不同的元素，它的幾何解釋和起源是非常美妙的。這就像大自然試圖告訴我們一些事情。