高中數學,複合函數在定積分中的應用,該兩點須積累,錯過會後悔

原題

原題：已知定義在R上的函數f(x)滿足f(f(x)－2^x+1/2^x)=5/2，f＇(x)為函數f(x)的導函數，且y=f＇(x)無零點，則∫(－1,1)[f(x)+x]dx的值為？

A.0

B.2

C.5/2

D.7/2

圖一

該題是複合函數和定積分的結合題型，該題需要知道兩點：

第一，複合函數解析式的求法；

第二，複雜定積分的求法。

這兩點可以普遍的運用在該類題型之中，下面就講解題的過程中詳細的說明求解複合函數解析式的方法步驟和求解複雜定積分的方法。

複合函數解析式的求解模板

複合函數就是函數中有函數，即y=f(f(x))的形式。

第一步，用換元法得到函數f(x)的特值。

設f(x)－2^x+1/2^x=t，且f(f(x)－2^x+1/2^x)=5/2，則有f(t)=5/2——f(t)就是這裡的特值。

第二步，得出關於t的方程。

因為f(x)－2^x+1/2^x=t，所以f(x)=2^x－1/2^x+t。

因為f(t)=5/2，此時t是滿足函數f(x)的定義域為R，則有f(t)=2^t－1/2^t+t=5/2.

第三步，求出t的數值，得到函數f(x)的解析式。

因為y=f＇(x)無零點，所以函數f(x)是單調函數。

則有方程2^t－1/2^t+t=5/2至多有一個解，易解得t=1——這可以試值。

所以函數f(x)的解析式為f(x)=2^x－1/2^x+1.

圖二

上述就是複合函數的求法步驟（需要掌握的一個知識點）：

即先設f(f(x)－2^x+1/2^x)中的f(x)－2^x+1/2^x=t

→然後得到函數f(t)=5/2，而這個f(t)=5/2可以看成是函數y=f(x)中的一個函數值，從而得出t的數值

→然後再根據t的數值得出函數f(x)的解析式。

複雜定積分的求法

要想求解複雜定積分的求法，需要知道定積分的幾何意義。

定積分的幾何意義：定積分∫(a,b)f(x)dx則表示函數f(x)在區間[a,b]與x軸所圍成的面積。

所以對於無法求解定積分的時候，可以將該定積分轉化成求該函數在該區間內的面積。

除此之外定積分還有一個性質經常使用，即如果函數f(x)是奇函數，且區間[a,b]關於原點對稱，則定積分∫(a,b)f(x)dx=0.

這道題就可以藉助這條性質來求解，將複雜的定積分化成簡單的定積分的形式。

由上述可知，f(x)=2^x－1/2^x+1，則∫(－1,1)[f(x)+x]dx=∫(－1,1)[2^x－1/2^x+x+1]dx.

設g(x)=2^x－1/2^x+x，此時我們會發現g(x)是一個奇函數，且定義域為[－1,1]關於原點對稱，所以此時∫(－1,1)g(x)dx=0.

圖三

則有∫(－1,1)[f(x)+x]dx

=∫(－1,1)[2^x－1/2^x+x+1]dx

=∫(－1,1)[g(x)+1]dx

=∫(－1,1)g(x)dx+∫(－1,1)1dx

=0+∫(－1,1)1dx

=0+x|(－1,1)

=1－(－1)

=2

所以上述定積分∫(－1,1)[f(x)+x]dx的值就為2，即選項B是正確的。

總結

該題中存在兩個知識點：

一是，複合函數解析式的求法；

二是，複雜定積分的求法，包括定積分的幾何意義和定積分的性質。

複合函數在高中數學中是比較重要的，也是高考經常出現的知識點。

學習在於積累，不僅僅是勤奮。

每天積累一點知識點，一年後我就不容小覷。

高中數學，複合函數零點易亂易錯題，須知固定模板，清晰不易錯

高考數學常考題，橢圓題，重心的妙用——聯結韋達定理的紐帶

高中數學，三角形面積在雙曲線中的妙用——學習從來學的都是方法

高中數學，圓錐曲線的題型不會，高考就危險，經典題型，步驟清晰

高中所學的導數公式大全