支持大量多維數組和矩陣運算的 NumPy 軟體庫是許多機器學習開發者和研究者的必備工具，本文將通過直觀易懂的圖示解析常用的 NumPy 功能和函數，幫助你理解 NumPy 操作數組的內在機制。
NumPy 是一個基礎軟體庫，很多常用的 Python 數據處理軟體庫都使用了它或受到了它的啟發，包括 pandas、PyTorch、TensorFlow、Keras 等。理解 NumPy 的工作機制能夠幫助你提升在這些軟體庫方面的技能。而且在 GPU 上使用 NumPy 時，無需修改或僅需少量修改代碼。
NumPy 的核心概念是 n 維數組。n 維數組的美麗之處是大多數運算看起來都一樣，不管數組有多少維。但一維和二維有點特殊。本文分為三部分：
1. 向量：一維數組
2. 矩陣：二維數組
3. 三維及更高維
本文參考了 Jay Alammar 的文章《A Visual Intro to NumPy》並將其作為起點，然後進行了擴充，並做了一些細微修改。
NumPy 數組和 Python 列表
乍一看，NumPy 數組與 Python 列表類似。它們都可作為容器，能夠快速獲取和設置元素，但插入和移除元素會稍慢一些。
NumPy 數組完勝列表的最簡單例子是算術運算：
除此之外，NumPy 數組的優勢和特點還包括：
更緊湊，尤其是當維度大於一維時；
當運算可以向量化時，速度比列表更快；
當在後面附加元素時，速度比列表慢；
通常是同質的：當元素都是一種類型時速度很快。
這裡 O(N) 的意思是完成該運算所需的時間和數組的大小成正比，而 O*(1)（即所謂的「均攤 O(1)」）的意思是完成運算的時間通常與數組的大小無關。
向量：一維數組
向量初始化
為了創建 NumPy 數組，一種方法是轉換 Python 列表。NumPy 數組類型可以直接從列表元素類型推導得到。
要確保向其輸入的列表是同一種類型，否則你最終會得到 dtype=』object』，這會影響速度，最終只留下 NumPy 中含有的語法糖。
NumPy 數組不能像 Python 列表一樣增長。數組的末端沒有留下任何便於快速附加元素的空間。因此，常見的做法是要麼先使用 Python 列表，準備好之後再將其轉換為 NumPy 數組，要麼是使用 np.zeros 或 np.empty 預先留下必要的空間：
通常我們有必要創建在形狀和元素類型上與已有數組匹配的空數組。
事實上，所有用於創建填充了常量值的數組的函數都帶有 _like 的形式：
NumPy 中有兩個函數能用單調序列執行數組初始化：
如果你需要類似 [0., 1., 2.] 這樣的浮點數數組，你可以修改 arange 輸出的類型：arange(3).astype(float)，但還有一種更好的方法。arange 函數對類型很敏感：如果你以整型數作為參數輸入，它會生成整型數；如果你輸入浮點數（比如 arange(3.)），它會生成浮點數。
但 arange 並不非常擅長處理浮點數：
在我們眼裡，這個 0.1 看起來像是一個有限的十進位數，但計算機不這麼看。在二進位表示下，0.1 是一個無限分數，因此必須進行約分，也由此必然會產生誤差。也因為這個原因，如果向 arange 函數輸入帶分數部分的 step，通常得不到什麼好結果：你可能會遇到差一錯誤 (off-by-one error)。你可以使該區間的末端落在一個非整數的 step 數中（solution1），但這會降低代碼的可讀性和可維護性。這時候，linspace 就可以派上用場了。它不受捨入的影響，總能生成你要求的元素數值。不過，使用 linspace 時會遇到一個常見的陷阱：它統計的是數據點的數量，而不是區間，因此其最後一個參數 num 通常比你所想的數大 1。因此，上面最後一個例子中的數是 11，而不是 10。
在進行測試時，我們通常需要生成隨機數組：
向量索引
一旦你的數組中有了數據，NumPy 就能以非常巧妙的方式輕鬆地提供它們：
除了「花式索引（fancy indexing）」外，上面給出的所有索引方法都被稱為「view」：它們並不存儲數據，也不會在數據被索引後發生改變時反映原數組的變化情況。
所有包含花式索引的方法都是可變的：它們允許通過分配來修改原始數組的內容，如上所示。這一功能可通過將數組切分成不同部分來避免總是複製數組的習慣。
Python 列表與 NumPy 數組的對比
為了獲取 NumPy 數組中的數據，另一種超級有用的方法是布爾索引（boolean indexing），它支持使用各類邏輯運算符：
any 和 all 的作用與在 Python 中類似，但不會短路。
不過要注意，這裡不支持 Python 的「三元比較」，比如 3<=a<=5。
如上所示，布爾索引也是可寫的。其兩個常用功能都有各自的專用函數：過度重載的 np.where 函數和 np.clip 函數。它們的含義如下：
向量運算
NumPy 在速度上很出彩的一大應用領域是算術運算。向量運算符會被轉換到 C++ 層面上執行，從而避免緩慢的 Python 循環的成本。NumPy 支持像操作普通的數那樣操作整個數組。
與 Python 句法一樣，a//b 表示 a 除 b（除法的商），x**n 表示 x。
正如加減浮點數時整型數會被轉換成浮點數一樣，標量也會被轉換成數組，這個過程在 NumPy 中被稱為廣播（broadcast）。
大多數數學函數都有用於處理向量的 NumPy 對應函數：
標量積有自己的運算符：
執行三角函數時也無需循環：
我們可以在整體上對數組進行捨入：
floor 為舍、ceil 為入，around 則是捨入到最近的整數（其中 .5 會被舍掉）
NumPy 也能執行基礎的統計運算：
NumPy 的排序函數沒有 Python 的排序函數那麼強大：
Python 列表與 NumPy 數組的排序函數對比
在一維情況下，如果缺少 reversed 關鍵字，那麼只需簡單地對結果再執行反向，最終效果還是一樣。二維的情況則會更困難一些（人們正在請求這一功能）。
搜索向量中的元素
與 Python 列表相反，NumPy 數組沒有索引方法。人們很久之前就在請求這個功能，但一直還沒實現。
Python 列表與 NumPy 數組的對比，index() 中的方括號表示可以省略 j 或同時省略 i 和 j。
一種查找元素的方法是 np.where(a==x)[0][0]，但這個方法既不優雅，速度也不快，因為它需要檢查數組中的所有元素，即便所要找的目標就在數組起始位置也是如此。
另一種更快的方式是使用 Numba 來加速 next((i[0] for i, v in np.ndenumerate(a) if v==x), -1)。
一旦數組的排序完成，搜索就容易多了：v = np.searchsorted(a, x); return v if a[v]==x else -1 的速度很快，時間複雜度為 O(log N)，但它需要 O(N log N) 時間先排好序。
事實上，用 C 來實現它進而加速搜索並不是問題。問題是浮點比較。這對任何數據來說都不是一種簡單直接可用的任務。
比較浮點數
函數 np.allclose(a, b) 能在一定公差下比較浮點數數組。
函數 np.allclose(a, b) 的工作過程示例。並沒有萬能方法！
np.allclose 假設所有被比較的數都在典型的 1 的範圍內。舉個例子，如果要在納秒級的速度內完成計算，則需要用默認的 atol 參數值除以 1e9：np.allclose(1e-9, 2e-9, atol=1e-17) == False.
math.isclose 則不會對要比較的數進行任何假設，而是依賴用戶給出合理的 abs_tol 值（對於典型的 1 的範圍內的值，取默認的 np.allclose atol 值 1e-8 就足夠好了）：math.isclose(0.1+0.2–0.3, abs_tol=1e-8)==True.
除此之外，np.allclose 在絕對值和相對公差的公式方面還有一些小問題，舉個例子，對於給定的 a 和 b，存在 allclose(a, b) != allclose(b, a)。這些問題已在（標量）函數 math.isclose 中得到了解決，我們將在後面介紹它。對於這方面的更多內容，請參閱 GitHub 上的浮點數指南和對應的 NumPy 問題（https://floating-point-gui.de/errors/comparison/）。
矩陣：二維數組
NumPy 曾有一個專門的 matrix 類，但現在已經棄用了，所以本文會交替使用「矩陣」和「二維數組」這兩個術語。
矩陣的初始化句法與向量類似：
這裡必須使用雙括號，因為第二個位置參數是 dtype（可選，也接受整數）。
隨機矩陣生成的句法也與向量的類似：
二維索引的句法比嵌套列表更方便：
view 符號的意思是當切分一個數組時實際上沒有執行複製。當該數組被修改時，這些改變也會反映到切分得到的結果上。
axis 參數
在很多運算中（比如 sum），你需要告訴 NumPy 是在列上還是行上執行運算。為了獲取適用於任意維度的通用符號，NumPy 引入了 axis 的概念：事實上，axis 參數的值是相關問題中索引的數量：第一個索引為 axis=0，第二個索引為 axis=1，以此類推。因此在二維情況下，axis=0 是按列計算，axis=1 是按行計算。
矩陣算術運算
除了逐元素執行的常規運算符（比如 +、-、、/、//、*），這裡還有一個計算矩陣乘積的 @ 運算符：
我們已在第一部分介紹過標量到數組的廣播，在其基礎上進行泛化後，NumPy 支持向量和矩陣的混合運算，甚至兩個向量之間的運算：
二維數組中的廣播
行向量和列向量
正如上面的例子所示，在二維情況下，行向量和列向量的處理方式有所不同。這與具備某類一維數組的 NumPy 實踐不同（比如二維數組 a— 的第 j 列 a[:,j] 是一個一維數組）。默認情況下，一維數組會被視為二維運算中的行向量，因此當用一個矩陣乘以一個行向量時，你可以使用形狀 (n,) 或 (1, n)——結果是一樣的。如果你需要一個列向量，則有多種方法可以基於一維數組得到它，但出人意料的是「轉置」不是其中之一。
基於一維數組得到二維數組的運算有兩種：使用 reshape 調整形狀和使用 newaxis 進行索引：
其中 -1 這個參數是告訴 reshape 自動計算其中一個維度大小，方括號中的 None 是用作 np.newaxis 的快捷方式，這會在指定位置添加一個空 axis。
因此，NumPy 共有三類向量：一維向量、二維行向量和二維列向量。下圖展示了這三種向量之間的轉換方式：
一維向量、二維行向量和二維列向量之間的轉換方式。根據廣播的原則，一維數組可被隱含地視為二維行向量，因此通常沒必要在這兩者之間執行轉換——因此相應的區域被陰影化處理。
矩陣操作
合併數組的函數主要有兩個：
這兩個函數適用於只堆疊矩陣或只堆疊向量，但當需要堆疊一維數組和矩陣時，只有 vstack 可以奏效：hstack 會出現維度不匹配的錯誤，原因如前所述，一維數組會被視為行向量，而不是列向量。針對這個問題，解決方法要麼是將其轉換為行向量，要麼是使用能自動完成這一操作的 column_stack 函數：
堆疊的逆操作是拆分：
複製矩陣的方法有兩種：複製 - 粘貼式的 tile 和分頁列印式的 repeat：
delete 可以刪除特定的行和列：
刪除的逆操作為插入，即 insert：
append 函數就像 hstack 一樣，不能自動對一維數組執行轉置，因此同樣地，要麼需要改變該向量的形狀，要麼就需要增加一個維度，或者使用 column_stack：
事實上，如果你只需要向數組的邊緣添加常量值，那麼（稍微複雜的）pad 函數應該就足夠了：
網格
廣播規則使得我們能更簡單地操作網格。假設你有如下矩陣（但非常大）：
使用 C 和使用 Python 創建矩陣的對比
這兩種方法較慢，因為它們會使用 Python 循環。為了解決這樣的問題，MATLAB 的方式是創建一個網格：
使用 MATLAB 創建網格的示意圖
使用如上提供的參數 I 和 J，meshgrid 函數接受任意的索引集合作為輸入，mgrid 只是切分，indices 只能生成完整的索引範圍，fromfunction 只會調用所提供的函數一次。
但實際上，NumPy 中還有一種更好的方法。我們沒必要將內存耗在整個 I 和 J 矩陣上。存儲形狀合適的向量就足夠了，廣播規則可以完成其餘工作。
使用 NumPy 創建網格的示意圖
沒有 indexing=』ij』 參數，meshgrid 會改變這些參數的順序：J, I= np.meshgrid(j, i)——這是一種 xy 模式，對可視化 3D 圖表很有用。
除了在二維或三維網格上初始化函數，網格也可用於索引數組：
使用 meshgrid 索引數組，也適用於稀疏網格。
獲取矩陣統計數據
和 sum 一樣，min、max、argmin、argmax、mean、std、var 等所有其它統計函數都支持 axis 參數並能據此完成統計計算：
三個統計函數示例，為了避免與 Python 的 min 衝突，NumPy 中對應的函數名為 np.amin。
用於二維及更高維的 argmin 和 argmax 函數會返回最小和最大值的第一個實例，在返回展開的索引上有點麻煩。為了將其轉換成兩個坐標，需要使用 unravel_index 函數：
使用 unravel_index 函數的示例
all 和 any 函數也支持 axis 參數：
使用 all 和 any 函數的示例
矩陣排序
axis 參數雖然對上面列出的函數很有用，但對排序毫無用處：
使用 Python 列表和 NumPy 數組執行排序的比較
這通常不是你在排序矩陣或電子表格時希望看到的結果：axis 根本不能替代 key 參數。但幸運的是，NumPy 提供了一些支持按列排序的輔助函數——或有需要的話可按多列排序：
1. a[a[:,0].argsort()] 可按第一列對數組排序：
這裡 argsort 會返回原數組排序後的索引的數組。
這個技巧可以重複，但必須謹慎，別讓下一次排序擾亂上一次排序的結果：
a = a[a[:,2].argsort()]
a = a[a[:,1].argsort(kind='stable')]
a = a[a[:,0].argsort(kind='stable')]
2. lexsort 函數能使用上述方式根據所有列進行排序，但它總是按行執行，而且所要排序的行的順序是反向的（即自下而上），因此使用它時會有些不自然，比如
- a[np.lexsort(np.flipud(a[2,5].T))] 會首先根據第 2 列排序，然後（當第 2 列的值相等時）再根據第 5 列排序。
– a[np.lexsort(np.flipud(a.T))] 會從左向右根據所有列排序。
這裡，flipud 會沿上下方向翻轉該矩陣（準確地說是 axis=0 方向，與 a[::-1,...] 一樣，其中三個點表示「所有其它維度」，因此翻轉這個一維數組的是突然的 flipud，而不是 fliplr。
3. sort 還有一個 order 參數，但如果一開始是普通的（非結構化）數組，它執行起來既不快，也不容易使用。
4. 在 pandas 中執行它可能是更好的選擇，因為在 pandas 中，該特定運算的可讀性要高得多，也不那麼容易出錯：
– pd.DataFrame(a).sort_values(by=[2,5]).to_numpy() 會先根據第 2 列排序，然後根據第 5 列排序。
– pd.DataFrame(a).sort_values().to_numpy() 會從左向右根據所有列排序。
三維及更高維
當你通過調整一維向量的形狀或轉換嵌套的 Python 列表來創建 3D 數組時，索引的含義是 (z,y,x)。第一個索引是平面的數量，然後是在該平面上的坐標：
展示 (z,y,x) 順序的示意圖
這個索引順序很方便，舉個例子，它可用於保存一些灰度圖像：a[i] 是索引第 i 張圖像的快捷方式。
但這個索引順序不是通用的。當操作 RGB 圖像時，通常會使用 (y,x,z) 順序：首先是兩個像素坐標，最後一個是顏色坐標（Matplotlib 中是 RGB，OpenCV 中是 BGR）：
展示 (y,x,z) 順序的示意圖
這樣，我們就能很方便地索引特定的像素：a[i,j] 能提供 (i,j) 位置的 RGB 元組。
因此，創建幾何形狀的實際命令取決於你所在領域的慣例：
創建一般的三維數組和 RGB 圖像
很顯然，hstack、vstack、dstack 這些函數不支持這些慣例。它們硬編碼了 (y,x,z) 的索引順序，即 RGB 圖像的順序：
NumPy 使用 (y,x,z) 順序的示意圖，堆疊 RGB 圖像（這裡僅有兩種顏色）
如果你的數據布局不同，使用 concatenate 命令來堆疊圖像會更方便一些，向一個 axis 參數輸入明確的索引數值：
堆疊一般三維數組
如果你不習慣思考 axis 數，你可以將該數組轉換成 hstack 等函數中硬編碼的形式：
將數組轉換為 hstack 中硬編碼的形式的示意圖
這種轉換的成本很低：不會執行實際的複製，只是執行過程中混合索引的順序。
另一種可以混合索引順序的運算是數組轉置。了解它可能會讓你更加熟悉三維數組。根據你決定使用的 axis 順序的不同，轉置數組所有平面的實際命令會有所不同：對於一般數組，它會交換索引 1 和 2，對 RGB 圖像而言是 0 和 1：
轉置一個三維數據的所有平面的命令
不過有趣的是，transpose 的默認 axes 參數（以及僅有的 a.T 運算模式）會調轉索引順序的方向，這與上述兩個索引順序慣例都不相符。
最後，還有一個函數能避免你在處理多維數組時使用太多訓練，還能讓你的代碼更簡潔——einsum（愛因斯坦求和）：
它會沿重複的索引對數組求和。在這個特定的例子中，np.tensordot(a, b, axis=1) 足以應對這兩種情況，但在更複雜的情況中，einsum 的速度可能更快，而且通常也更容易讀寫——只要你理解其背後的邏輯。
如果你希望測試你的 NumPy 技能，GitHub 有 100 道相當困難的練習題：https://github.com/rougier/numpy-100。
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