初中數學費馬點幾何模型例題講解,原來這麼簡單!

2020-12-23 初中數學解題視頻

初中數學中費馬點模型也是難點之一，

一般在考試中這樣出題，

如何找一點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小？

點P的位置就是三角形ABC的費馬點！

解決費馬點問題的秘訣就是運用旋轉法，以三角形ABC任意一條邊向外旋轉構造等邊三角形，根據兩點之間線段最短，得出最短長度。

【例題】

如圖，P是邊長為1的等邊△ABC內的任意一點，求PA+PB+PC最小值。

（視頻解析在本文末尾）

分析：點P在△ABC內部運動，直接求PA+PB+PC最小值是很困難的。想辦法將這三條線段進行一個轉化，構造出我們已知的最值模型。

假設點P運動至任一位置，

將三角形APC旋轉60°，

得到三角形AP'C'，

連接PP'

很容易證明△APP'是等邊三角形，

AP=AP'=PP'

在圖中，△APC≌△AP'C'

所以，PC=P'C'

那麼，PA+PB+PC=PB+PP'+P'C'

求PA+PB+PC最小值，就是求PB+PP'+P'C'的最小值。

什麼時候PB+PP'+P'C'有最小值呢？

當然是點B、P、P'、C'四點共線的時候，

最小值即為線段BC'的長度。

連接CC'，

四邊形ABCC'是邊長為1的菱形，

BC'⊥AC，即可求出BC'=√3

即PA+PB+PC最小值為√3。

本題視頻講解：初中數學費馬點模型，原來這麼簡單！

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