初三數學 中考複習 含半角模型例題講解 翻折法與旋轉法方法歸納

#半角模型#今天給大家講解含半角模型，這個模型呢是初中幾何非常重要的數學模型，在很多習題中常常出現。

含半角模型

01模型講解

所謂含半角模型，就是指從角的頂點向角的內部引出兩條直線，這兩條直線形成的夾角恰好等於原角的一半.

解題思路如下.

思路一：將被兩條直線分開的兩個角中任意一個旋轉全形大小，則可以將分散的角或者線段集中，構造全等或者相似圖形，達到求解目的，如例題解答。

含半角模型-旋轉法

思路二：將被兩條直線分開的兩個角中分別以兩條直線為對稱軸向內翻折，使得兩個角的一邊重合，則可以將分散的角或者線段集中，構造全等或者相似圖形，達到求解目的。

含半角模型-翻折法

應用條件：

角含半角經常和對角互補模型一起出現.頂角為特殊角的等腰三角形，如頂角為30°,45°,60°,75°,90°,或它們的補角為這些特殊角度.正方形、菱形等.此種模型，不管是翻折還是旋轉，目的是集中分散的條件.它是尋求添加輔助線的一種思路.

02例題：含半角模型

如圖1,在正方形ABCD中，點E是對角線AC上的動點（與點A、C不重合），連接BE.將射線BE繞點B順時針旋轉45°,交直線AC於點F.

（1）依題意補全圖；

（2）探究線段AE、FC、EF存在的數量關係並證明.

圖1

03例題剖析

(1) 依題意補全圖即可.

(2) BE旋轉得到線段BF,由旋轉可知，∠EBF = 45°,而∠ABC = 90°,這是一個90°-含半角模型.通過旋轉，將∠ABE與∠FBC集中，才能獲得求證.將△BCF繞點B逆時針旋轉90°,可以得到△BAM,且△BAM≌△BCF，根據全等以及正方形的性質，可以證明BME≌△BFE,從而得到ME=EF,另可證明≌MAE=90°,得到△MAE是直角三角形，根據勾股定理可得關係.

04例題解析

⑴ 依題意補全圖，如圖2.

如圖2

⑵ 線段AE、FC、EF存在的數量關係為AE+FC=EF.

證明:將△BCF繞點B逆時針旋轉90°,得到旋轉後的三角形為△BAM,連接ME,如圖3.

圖3

因為△BAM≌△BCF,

所以 ∠ABM=∠CBF,AM=CF,BM=BF,∠BAM=∠BCF.

又因為 ∠ABE+∠EBF+∠CBF=90°, ∠EBF = 45°,

所以∠ABM+∠ABE=45°,即∠MBE=45°,所以∠MBE=∠EBF.

又有 BE=BE,BM=BF，所以△BME≌△BFE，所以 ME = EF.

又因為∠BAM=∠BCF，∠BCF=∠BAE=45°,

所以 ∠BAM+∠BAE=90°,即∠MAE=90°.

在 Rt△MAE 中，有AE+AM=ME,即AE+FC=EF.

本例中，還可以將△BCF沿著BF翻折得到連接 △AEM,如圖4.則可以證明ABE≌△MBE,從而得證△EMF是直角三角形，問題解決。

圖4