中考熱點:輔助線模型之隱圓模型之二-直角三角形共斜邊模型

2020-12-23 衝之數學編程

同學們好，上篇文章，我們分享了隱圓模型之一，也就是畫輔助圓的模型一，共頂點，等線段模型，這一篇，我們繼續分享輔助圓模型二，直角三角形共斜邊模型。

直角三角形共斜邊模型

以上就是輔助圓模型二，兩個直角三角形共斜邊，一定能推出，A,B,C,D四點共圓，且公共的斜邊是直徑。這個模型，能夠運用圓周角定理尋找等角關係，是證明角度相等的重要途徑之一。我們來看看怎麼應用它。

例1

我們來分析一下題目，E是正方形ABCD邊上的一點，DE⊥EF，這裡已經有一個直角了。且BF是∠ABC的外角平分線，那麼就可以推出CBF為45°，如果我們連接BD，那麼就能推出DB⊥BF。兩個直角三角形，共斜邊DF，根據模型，很容易得出D,E,B,F四點共圓，四點共圓，那麼∠DBE=∠DFE=45°，進而就能證明EF=DE了。我們來看看具體思路。

當然，這道題還有別的證明方法，但是如果使用共圓模型去解題，會顯得更簡單。

再來一道例題，看看大家是否能一眼就能看出直接三角形斜邊模型？

例2

圖中，一個有多少組四點共圓呢？是不是覺得有點暈，可能還數不清楚？我們一起來看看。

（1）若以AB為斜邊，我們能找到兩個直角三角形，△AEB和△ADB，那麼A，B，D，E四點共圓。

（2）若以AC為斜邊，我們同樣能找到兩個直角直角三角形，△AFC和△ADC，那麼A，F，D，C四點共圓。

（3）若以BC為斜邊，同理可得B，C，E，F四點共圓。

（4）以AH為斜邊，A，F，H，E四點共圓

（5）以BH為斜邊，B，D，H，F四點共圓

（6）以CH為斜邊，D，C，E，H四點共圓

所以，圖中一共有六組四點共圓。

那又如何證明∠ADF=∠ADE呢？我們把圓畫出來，就會比較清楚了。

如上圖所示，要證明這兩個角相等，就得找一個和這兩個角都相等的一個等角，才能證明這兩個角相等，如果使用這個模型來找等角，那就容易多了，只要將圓畫出來，或者等你熟練之後，也就很容易看出∠3就是∠1，∠2的等角了。∠1，∠3有公共弦FH，∠2，∠3，有公共弦AE。

大家在碰到有兩個直角三角形，且有公共斜邊的時候，要想到這個模型。就多一個解題思路，將隱藏的圓給畫出來。有些題目就不會那麼難了。

接下來，我們來幾道題，大家自己練習看看。

練1

這道題相對來說，還是比較簡單的，關鍵看大家能不能找到共圓，以及找到等角了。大家要將例2的那個幾組共圓要研究透來，這樣，碰到類似的題目，很快就能找到等角了。

練2

這道題，就是證明三角形的三條高交於一點了。小編還一直想知道為什麼三條高會交於一點呢。原來可以用這個模型來證明。解決了小編已知一來的困惑，大家自己動手證明看看。

練3

這道題，相對來說，也還不是太難，關鍵是要能看出幾個點共圓，要看不出來，這道題也不是那麼容易能做出來的。

這幾道題，關鍵的一點，是一定要能看出是共圓的。才容易求證。所以大家一定要多練練這種題型的題目，爭取能夠練到一眼就能看出來。那麼這種題目對於你來說，也就是類似送分題了。

好了，今天的分享就到這，下篇，我們繼續分享隱圓模型三。喜歡我們的文章，請收藏，分享，關注哦！

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