實變函數第五章《微分與不定積分》

2021-02-21 八一考研數學競賽

本講義主要參考周民強《實變函數論》[1]，今天開始我們的第五章《微分與不定積分》的講解，重點是要在Lebesgue積分理論中推廣微積分基本定理，並給出萊布尼茨公式成立的充要條件，若

即 

往期推文

對實變初學者非常重要的引言

Lebesgue積分習題練習

實變函數第一章《集合與點集》

實變函數第二章《Lebesgue 測度》

實變函數第三章《可測函數》

實變函數第四章《Lebesgue積分》

用書的版本5.1 單調函數的可微性

這一節主要討論了Vitalli 覆蓋定理以及單調函數的可微性

定義 5.1.1  設

定理 5.1.1 設

注意：這個結論關鍵是它的覆蓋變成了有限個子集，它與有限覆蓋定理的區別.

證明：  (1)任取一區間

則

再繼續我們可以得到互不相交區間

定義 5.1.2  設

這分別稱它們為右上導數，右下導數，左上導數，左下導數。

這個概念實際上是把導數概念中的極限拆分成幾個部分，從更細的角度考慮問題.

顯然有

證明： (1) 的結論是顯然的，下面給出的(2) 證明，用

注意上極限和

定理 5.1.2  若

證明： 首先先證明，對於

則只需證明下面兩個點集：

當

而

若能證明

若記

則只需證 

現證明

由於

考慮

根據Fatou引理可得

書中給出了一個例子說明"單調函數幾乎處處可微"是不能改進的.這裡不能改進是什麼含義? 首先完全可微的單調函數是存在的，例如

由於

則 

定理 5.1.3 設

證明： 這個需要用到Lebesgue定理，也反映了Lebesgue積分理論的優越性，只不過這裡只有幾乎處處成立的結論.

5.2  有界變差函數

定義 5.2.1  設

及相應的和

稱之為變差，作全變差；若有界變差函數，其全體為

例 5.2.1 若單調函數有界變差函數，即

例 5.2.2 若有界變差函數.

其證明中是使用了微分中值定理

例5.2.3 若在

則有界變差函數.

證明： 考慮分化

即

定理 5.2.1 若

證明： 考慮

如果

反向不等式的證明利用

根據

即證

定理 5.2.2 [Jordan分解]  

證明： (1) 考慮

則

(2) 單調函數是有界變差函數，

這個分解揭示了有界變差函數與單調函數的關係，而單調函數是幾乎處處可微的，繼而有界變差函數是幾乎處處可微的且

定理 5.2.3 若 有界變差函數，其全變差為

證明： 考慮

因此

未完續...

參考資料[1]

周民強:,編著: 實變函數論，北京大學出版社.

相關焦點

  • 數學分析第八章《不定積分》備考指南
    問君能有幾多愁，不定積分不會求！這是整個第八章比較慘澹的基調！弱弱問君，什麼叫不定積分？結合上述兩個定義不難看出，不定積分實際是求導的逆運算，即求被積分函數的原函數。截止到目前，同學們對計算應該有個明確地認識，計算不僅僅拘泥於中小學的關於數的加減乘除運算，還包括求極限，導數，不定積分，定積分，反常積分，數項級數的和，冪級數的和函數，重積分，線面積分，行列式，逆矩陣，特徵值，特徵向量，Jordan標準型等等各種高檔次的運算！所有這些運算中，最能考察一個人的計算能力，非不定積分莫屬！
  • 分析學的5大「步」:微積分到函數論、泛函分析、微分方程
    微積分微積分是研究函數的微分、積分性質及其應用的數學分支學科，並成為數學其他分支的基礎，也是其他自然科學和工程技術的必備工具。現在微積分學教程，通常的目錄次序是極限、微分、積分，正好與歷史順序相反。，並依此建立了一整套複變函數微分和積分的理論；1851年，黎曼的博士論文《複變函數論的基礎》，奠基了複變函數論。
  • 實變函數的入門簡介
    實變函數學十遍，比「彙編語言不會編」還是難很多的。至少我彙編就練得不錯:(但實變就只懂一點點，做那湯松大牛的課後題是白搭，但是在需要的時候拿來懟一下深度神經網絡DNN還是可以的（捂臉1，可數，可數是實變函數的入門核心概念
  • AI攻破高數核心,1秒內精確求解微分方程、不定積分
    它不光會求不定積分：還能解常微分方程：一階二階都可以。這是Facebook發表的新模型，1秒給出的答案，超越了Mathematica和Matlab這兩隻付費數學軟體30秒的成績。團隊說，這是Seq2Seq和Transformer搭配食用的結果。用自然語言處理 (NLP) 的方法來理解數學，果然行得通。
  • 揭開原函數、不定積分、定積分的神秘面紗!
    原函數、不定積分、定積分從定義上看似不難理解，但是其中存在很多的難點和坑，大家都知曉嗎？1.原函數、不定積分、定積分的含義工欲善其事，必先利其器。欲徹底掌握其中的難點，首先要清楚原函數、不定積分、定積分的含義，通俗點講，原函數、不定積分、定積分的含義如下：原函數：如果函數F(x)在定義域內可導，且導函數為f(x)，則稱F(x)為f(x)的一個原函數。不定積分：若函數f(x)存在原函數，則f(x)所有原函數的集合稱為不定積分。換句話說，不定積分表示函數f(x)所有的原函數。
  • 詳解有理函數不定積分的通用解法
    有理函數不定積分的通用解法雖然複雜、不易理解，但幸運的是，在考試中基本不需要用到有理函數不定積分的通用解法。儘管如此，理解通用解法，對提升解題能力、理解能力都是有益無害。1. 什麼是有理函數不定積分？當被積函數的分子或分母均為自變量的n次多項式時，此時的不定積分為有理函數不定積分。下方左圖是有理函數不定積分的三個例子，下方右圖為非有理函數不定積分的例子。2.
  • 數學分析第九章《定積分》備考指南
    而NL公式條件假設f在[a,b]上連續，且存在原函數F,那麼問題又來了？如何保證原函數的存在性?於是，嘻嘻原函數存在定理溝建立了微分和積分之間的內在橋梁，溝通了兩個看似不相關的對象之間的深刻本質關聯。它告訴我們「連續函數必存在原函數」這一重要的基本事實，並以積分的形式給出了函數f的一個原函數。
  • 從認知的角度分析有理函數不定積分為什麼難學?
    從認知的角度分析有理函數不定積分為什麼難學？有理函數的不定積分常常會被我們當作解決不定積分最終「模型」，其他的各類函數（除了原函數不是初等函數）都會通過各種變換將其轉換為有理函數來解決。一方面，有理函數的不定積分總是可以解出來的，這給我們帶來了很大的「安全感」。畢竟有相當多的初等函數的原函數是無法用初等函數表示的，這意味著我們會遇到很多不會解不定積分的題目；另一方面有理函數的原函數應該是比較容易計算的，畢竟通過待定係數法把有理函數分解成部分分式的和幾乎應成為了「程序化」操作。
  • 湊微分法解常見函數的積分方法
    在求一個函數的不定積分時，其實我們是在解決，已知函數的導數，求函數原型的問題。而無論採用何種方法，理應是求得的結果，相同或者是恆等的。那麼，總結一下，在面對函數的不定積分時，如何求得呢？思路應該是按下步驟。1.
  • 3.1.1 原函數與不定積分(裡爾)
    內容提要：原函數與不定積分的概念、不定積分的幾何意義、常見的初等函數的不定積分計算公式、不定積分的線性性質等.
  • 什麼是分數階微分和積分?
    分數階微分和積分算子的最自然的地方是使用稱為柯西公式的公式進行重複積分。如果我們反覆取一個函數的n階反導數，則結果是：階乘函數的一般化是伽馬函數。如果我們注意到Γ（n）=（n-1）！那麼推廣柯西公式以包含實數階α（嚴格大於零）的一種明顯方法是實際上，這是積分到小數點的有效運算符。稱為左黎曼-利維爾積分。實際上，許多文獻中接受了不同的分數積分運算符，但RL積分是最簡單，最容易使用和理解的。注意，α可能也很複雜，實部嚴格大於零，為簡單起見，我們將假定α為實。α= 1/2的特殊情況稱為半積分。
  • 求一元函數定積分和不定積分的六種方法
    定積分和不定積分的求法沒必要分開，因為會求不定積分就會求定積分。
  • python快速求解不定積分和定積分
    conda install sympy接下來，我們將介紹利用第三方庫sympy來完成積分的計算。python求解不定積分接下來，我們將介紹上述的不定積分的求解。首先導入sympy庫中的所有類和函數。from sympy import *接下來我們需要定義，本次需要使用到的符號變量x，其定義如下：x = symbols('x')最後我們來計算積分，定積分和不定積分我們都需要用到函數integrate，這個函數的用法非常的簡單，完全可以自己領悟。
  • 詳解萬能公式在不定積分中的應用
    在求不定積分中，對於只包含正弦、餘弦、正切、餘切，而不包含其他初等函數的被積函數，可以用萬能公式，化三角函數為有理函數，進而求解不定積分。1. 初用萬能公式對習題1直接套用如下萬能公式。如果通過萬能公式的轉化，得出的新的不定積分更複雜，則要重新觀察原不定積分：1）是否可以先拆分，然後再用萬能公式；2）是否該用其他方法。通過再次觀察被積函數，可以將原不定積分拆分成兩個部分，其中一個部分直接可求出原函數，另一個部分可通過萬能公式進行求解。3.
  • 定積分與不定積分的計算思路、步驟與例題
    定積分的計算一般思路與步驟（不定積分計算思路從step3開始）:Step1：分析積分區間是否關於原點對稱，即為[-a,a]，如果是，則考慮被積函數的整體或者經過加減拆項後的部分是否具有奇偶性Step2：考慮被積函數是否具有周期性，如果是周期函數，考慮積分區間的長度是否為周期的整數倍，如果是，則利用周期函數的定積分在任一周期長度的區間上的定積分相等的結論簡化積分計算.
  • 談論不定積分及其求法
    一、原函數不定積分的概念原函數的定義： 如果區間I上，可導函數F(x)的導函數為f'(x),即對任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx那麼函數F(不定積分的定義：在區間 I 上，函數f(x)的帶有任意常數項的的原函數稱為f(x)( f(x)dx ) 在區間 I 上的不定積分，記作∫ f(x)dx .
  • 高數學習「瓶頸」突破之二:通俗化理解導數與微分概念
    面對這些學科的學習，不少學生感覺「枯燥無味」、「提不起學習興趣」、「不知道如何入手學習」……高等數學更是高度抽象和難於理解的學科，特別是其中的導數、微分、不定積分等概念，不少學生學習之後不知道是什麼意思。先看一下如下的書面定義：
  • 微分意義,積分意義,牛頓-萊布尼茨公式
    微分的意思就是：無限的分割，可以將曲線無線的分割，就是直線；積分就是無限的求和，這就是積分；其中極限是重要的思想。極限是積分，微分的一大基礎。大學老師都不講，沒有整體的把握。你要懂這些，你的學習會很輕鬆加愉快。