作者：計量與統計
來源：公眾號計量與統計
時間序列分析是根據系統觀測得到的時間序列數據，通過曲線擬合和參數估計來建立數學模型的理論和方法。它一般採用曲線擬合和參數估計方法（如非線性最小二乘法）進行。
一個時間序列通常由 4 種要素組成：趨勢、季節變動、循環波動和不規則波動。辨識合適的隨機模型,進行曲線擬合,即用通用隨機模型去擬合時間序列的觀測數據。對於短的或簡單的時間序列，可用趨勢模型和季節模型加上誤差來進行擬合。
對於平穩時間序列，可用通用 ARMA 模型（自回歸滑動平均模型）及其特殊情況的自回歸模型、滑動平均模型或組合-ARMA 模型等來進行擬合。當觀測值多於 50 個時一般都採用 ARMA 模型。對於非平穩時間序列則要先將觀測到的時間序列進行差分運算，化為平穩時間序列，再用適當模型去擬合這個差分序列。
面板數據，即 Panel Data，也叫「平行數據」，是指在時間序列上取多個截面，在這些截面上同時選取樣本觀測值所構成的樣本數據。面板數據分析方法是最近幾十年來發展起來的新的統計方法，面板數據可以克服時間序列分析受多重共線性的困擾,能夠提供更多的信息、更多的變化、更少共線性、更多的自由度和更高的估計效率，而面板數據的單位根檢驗和協整分析是當前最前沿的領域之一。
我們將分兩期，從時間序列數據與面板數據分析兩個方面入手，從數據檢驗（平穩性檢驗、模型滯後期、協整檢驗、格蘭傑檢驗）、數據模型（VAR 模型、VEC 模型、脈衝響應函數等）、平衡與非平衡面板出發，進行比較和探究。
平穩性問題匯總
Q1:最重要最基礎的！什麼是面板數據？
面板數據，即 Panel Data，是截面數據與時間序列數據綜合起來的一種數據類型。其有時間序列和截面兩個維度，當這類數據按兩個維度排列時，是排在一個平面上，與只有一個維度的數據排在一條線上有著明顯的不同，整個表格像是一個面板,所以把 panel data 譯作「面板數據」。
但是,如果從其內在含義上講,把 panel data 譯為「時間序列—截面數據」 更能揭示這類數據的本質上的特點。也有譯作「平行數據」或「TS-CS 數據（Time Series - Cross Section）」。
如：城市名：北京、上海、重慶、天津的 GDP 分別為 10、11、9、8（單位億元）。這就是截面數據，在一個時間點處切開，看各個城市的不同就是截面數據。
如：2000、2001、2002、2003、2004 各年的北京市 GDP 分別為 8、9、10、11、12（單位億元）。這就是時間序列，選一個城市，看各個樣本時間點的不同就是時間序列。
如：2000、2001、2002、2003、2004 各年中國所有直轄市的 GDP 分別為：
北京市分別為 8、9、10、11、12；
上海市分別為 9、10、11、12、13；
天津市分別為 5、6、7、8、9；
重慶市分別為 7、8、9、10、11（單位億元），這就是面板數據。
Q2:balanced 和 unbalanced 面板數據到底有什麼區別？
「平衡的意思是，如果按截面成員堆積數據，每個截面成員應包括正好相同的時期；如果按日期堆積數據，每個日期應包含相同數量的截面成員觀測值，並按相同順序排列。特別要指出的是，基礎數據並不一定是平衡的，只要在輸入文件中有表示即可。如果觀測值中有缺失數據，一定要保證文件中給這些缺失值留有位置。」
——from 高鐵梅
Q3:何為平穩性檢驗？
說到平穩，其實有兩種平穩——寬平穩、嚴平穩。
嚴平穩相較於寬平穩來說，條件更多更嚴格，而我們時常運用的時間序列，大多寬平穩就夠了。
什麼是嚴平穩：是在固定時間和位置的概率分布與所有時間和位置的概率分布相同的隨機過程。這樣，數學期望和方差這些參數也不隨時間和位置變化。（比如白噪聲）
什麼是寬平穩：寬平穩是使用序列的特徵統計量來定義的一種平穩性。它認為序列的統計性質主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩（二階），就能保證序列的主要性質近似穩定。
兩者關係：
一般關係：嚴平穩條件比寬平穩條件苛刻，通常情況下，嚴平穩（低階矩存在）能推出寬平穩成立，而寬平穩序列不能反推嚴平穩成立。
特例：不存在低階矩的嚴平穩序列不滿足寬平穩條件，例如服從柯西分布的嚴平穩序列就不是寬平穩序列。當序列服從多元正態分布時，寬平穩可以推出嚴平穩。
Q4:如何進行平穩性檢驗？
檢查序列平穩性的標準方法是單位根檢驗。有 6 種單位根檢驗方法：ADF 檢驗、DFGLS檢驗、PP 檢驗、KPSS 檢驗、ERS 檢驗和 NP 檢驗，本節將介紹 DF 檢驗、ADF 檢驗。
ADF 檢驗和 PP 檢驗方法出現的比較早，在實際應用中較為常見，但是，由於這 2 種方法均需要對被檢驗序列作可能包含常數項和趨勢變量項的假設，因此，應用起來帶有一定的不便；其它幾種方法克服了前 2 種方法帶來的不便，在剔除原序列趨勢的基礎上，構造統計量檢驗序列是否存在單位根，應用起來較為方便。
ADF 檢驗是在 Dickey-Fuller 檢驗(DF 檢驗)基礎上發展而來的。因為 DF 檢驗只有當序列為 AR(1)時才有效。如果序列存在高階滯後相關，這就違背了擾動項是獨立同分布的假設。在這種情況下，可以使用增廣的 DF 檢驗方法（augmented Dickey-Fuller test ）來檢驗含有高階序列相關的序列的單位根。
tips:
在進行 ADF 檢驗時，必須注意以下兩個實際問題：
（1）必須為回歸定義合理的滯後階數，通常採用 AIC 準則來確定給定時間序列模型的滯後階數。在實際應用中，還需要兼顧其他的因素，如系統的穩定性、模型的擬合優度等。
（2）可以選擇常數和線性時間趨勢，選擇哪種形式很重要，因為檢驗顯著性水平的 t 統計量在原假設下的漸近分布依賴於關於這些項的定義。
Q5:如果序列平穩了，那怎麼看啊？
AR 模型：自相關係數拖尾，偏自相關係數截尾；
MA 模型：自相關係數截尾，偏自相關函數拖尾；
ARMA 模型：自相關函數和偏自相關函數均拖尾。
P、Q的選擇主要看從第幾期開始快速收斂。
Q6:如何制定滯後數呢？
先找出最小的 AIC 和 SIC（不是絕對值），在此基礎上看 ADF 檢驗是否通過，即判斷是否是平穩序列。
補充一下關於 AIC 的信息：
AIC 信息準則：是衡量統計模型擬合優良性的一種標準，由於它為日本統計學家赤池弘次創立和發展的，因此又稱赤池信息量準則。它建立在熵的概念基礎上，可以權衡所估計模型的複雜度和此模型擬合數據的優良性。
在一般的情況下，AIC 可以表示為：AIC=2k-2ln(L)其中：k 是參數的數量，L 是似然函數。假設條件是模型的誤差服從獨立正態分布。讓 n 為觀察數，RSS 為剩餘平方和，那麼 AIC變為：AIC=2k+nln(RSS/n)增加自由參數的數目提高了擬合的優良性，AIC 鼓勵數據擬合的優良性但是儘量避免出現過度擬合(Overfitting)的情況。所以優先考慮的模型應是 AIC 值最小的那一個。赤池信息準則的方法是尋找可以最好地解釋數據但包含最少自由參數的模型。
Q7：ADF 檢驗和協整檢驗是什麼關係？
先做單位根檢驗，看變量序列是否平穩序列，若平穩，可構造回歸模型等經典計量經濟學模型；若非平穩，進行差分，當進行到第 i 次差分時序列平穩，則服從 i 階單整（注意趨勢、截距不同情況選擇，根據 P 值和原假設判定）。
若所有檢驗序列均服從同階單整，可構造 VAR 模型，做協整檢驗（注意滯後期的選擇），判斷模型內部變量間是否存在協整關係，即是否存在長期均衡關係。如果有，則可以構造 VEC 模型或者進行 Granger 因果檢驗，檢驗變量之間「誰引起誰變化」，即因果關係。
單位根檢驗是序列的平穩性檢驗，如果不檢驗序列的平穩性直接 OLS 容易導致偽回歸。當檢驗的數據是非平穩（即存在單位根），並且各個序列是同階單整（協整檢驗的前提），想進一步確定變量之間是否存在協整關係，可以進行協整檢驗，協整檢驗主要有 EG 兩步法和 JJ 檢驗 。