【科普文章】紙折螺旋槳和直升機的自動降落

紙折螺旋槳和直升機的自動降落

田愛平；姜愛民；張慧

摘要：通過對紙折螺旋槳的動力學分析，解釋了紙折螺旋槳:旋轉下落的力學原理，指出了紙折螺旋槳升力的產生與直升機自動降落和自轉旋翼機升力的產生原理相同，實現了認識力學原理從玩具到工程實際的遷移．

關鍵詞：紙折螺旋槳，空氣動力，直升機，自動降落，自轉旋翼機

前言

僅僅一根小紙條就能夠製作一個很好玩的螺旋槳，如圖1 所示. 也許讀者自己就曾經製作過這樣的小玩具，為童年的自己或以長者身份博身邊孩童一笑. 將此小製作從較高位置釋放，其將會旋轉著慢慢下落. 玩具雖小卻蘊含著深刻的力學原理，並在工程中得到應用.

圖1 紙折螺旋槳

1 紙折螺旋槳的製作方法

現把此螺旋槳的製作方法簡述如下.首先將普通複印紙用剪刀剪成長條狀，如圖2所示(為方便區分前後紙面，紙的背面以灰色表示).其次將剪好的紙條沿圖2 中裁剪線剪開.再其次將剪開部分以圖2 中翻折線為軸前後反向翻折，形成兩「翼」，兩翼間夾角小於或等於180°為宜；未剪開部分我們稱為「身」. 最後在身的下端中間位置卡上一枚回形針. 製作完畢，最終效果如圖1 所示. 我們不妨稱這種構型的螺旋槳為構型1. 回形針並不是必須的，換做其他物品亦可，但不宜太重，其作用是使整個小製作的重心下移，旋轉下落時方向性會更穩定.

圖2 製作螺旋槳的紙條

若改變製作方法，還可以有新的構型.首先將如圖2 所示紙條的實線部分剪開；其次將紙條身部沿著中心線對摺，並用雙面膠粘好；再其次將剪開部分以虛線為軸前後反向翻折，形成兩翼，兩翼間夾角無限制；最後在身部末端卡上回形針. 將這種構型的螺旋槳稱為構型2，如圖3所示.

圖3 構型2 的製作

若採用與構型1 完全相同的製作方法，但把材料由普通複印紙換成硬卡紙，兩翼間夾角等於180°，且兩翼與身成直角. 稱此構型為構型3.不妨試一試構型2 及構型3 的下落效果. 很遺憾，這兩種構型下落時都不會旋轉，且落地時間較構型1 短很多. 這是什麼原因呢？

2 紙折螺旋槳的動力學分析

下面來說說構型1 的螺旋槳為什麼會轉起來，同時也就能說明構型2、構型3 為何不會旋轉.先分析兩翼夾角為180°的情形. 從高處釋放紙折螺旋槳的瞬時，兩翼會受到空氣的阻力，阻力的合力垂直於翼面豎直向上，如圖4所示.

圖4 初始狀態受力

此種狀態下兩翼上阻力合力與螺旋槳質心軸平行，兩翼阻力及重力形成共面平行力系，且對質心軸無力矩. 若螺旋槳能一直保持此種形態，螺旋槳下落時將不會旋轉. 構型3 就是這種受力情形，硬卡紙的面外彎曲剛度較大，釋放時幾乎不會彎曲，阻力對豎直質心軸無驅動力矩，因此其不會旋轉起來.

但普通複印紙面外彎曲剛度非常小，在阻力作用下會發生彎曲，兩端上翹，作用在翼上的阻力合力的大小和方向均會發生變化. 兩翼上的阻力合力會向螺旋槳的中心軸線方向偏轉聚攏. 螺旋槳釋放後瞬間便在阻力的作用下轉變為兩翼的彎曲狀態.

在不改變問題本質的前提下，我們假設兩翼形狀不發生變化，只是繞著翻折線轉過一個角度，轉變為兩翼夾角小於180°的情形. 受力如圖5 所示.

此種狀態下兩翼上阻力合力與螺旋槳質心軸有一夾角，而且阻力合力作用線與質心軸不共面. 將阻力分別沿著豎直和水平方向分解，可看出兩翼上的阻力形成力螺旋(兩豎直分量合成主矢，兩水平分量形成主矩)，會對質心軸產生力矩，使螺旋槳轉動起來. 顯然，若使構型3 兩翼的夾角小於180°，其便能旋轉了.

對於構型2，在阻力的作用下，不管兩翼彎不彎曲、彎曲程度如何，兩翼上的空氣阻力與螺旋槳整體所受重力始終共面，不會對螺旋槳質心軸產生力矩，螺旋槳不會旋轉. 同時，由於紙條的面外彎曲剛度太小，在兩翼不旋轉的狀態下落時，幾乎會貼在一起，就像一張豎直的紙條快速落地.

圖5 開始旋轉時受力狀態

旋轉起來的兩翼與不旋轉的兩翼有很大不同.旋轉狀態下，翼面本質上就是一平板機翼，其在旋轉過程中會產生慣性力和空氣動力. 單個翼片的受力如圖6 所示(僅繪出一翼受力且翼根處的約束力未畫出).

圖6 旋轉狀態翼片受力

空氣動力會使翼面彎曲和傾斜，外端部上翹，慣性力矩和重力矩起到對抗空氣動力力矩的作用，制約了上翹趨勢. 此動態過程中，可以將空氣動力力矩看作幹擾力矩，而慣性力矩和重力矩則是恢復力矩的角色. 空氣動力力矩使翼面上翹的過程，同時也是慣性力矩增長的過程，但此時重力矩會有所減小，3種力矩中，重力矩的作用相對較小，空氣動力力矩和慣性力矩起主導作用. 當3 種力矩達到平衡時，翼面傾角就能基本保持穩定了.空氣動力的特徵與翼面的速度分布特徵有關.現以翼片中心線上一點為例進行速度分析，如圖7(a) 所示.

假設螺旋槳的旋轉對翼面下方的空氣擾動較弱，可以忽略不計. 翼面的迎角由螺旋槳下落速度和繞中心軸轉動的角速度共同決定. 依據相對性原理，從翼面速度矢量圖中可以看出，若假定翼面不動，可以認為氣流從翼面前下方吹來，如圖7(c) 所示. 氣流與翼面的夾角稱為迎角，氣流吹向翼片下表面時，迎角為正；氣流吹向翼片上表面時，迎角為負. 此處的迎角為正迎角，能夠產生向上的升力分量，此分量能對抗部分重力，使螺旋槳向下的平動加速度降低，進而延長下落時間. 翼面上產生的空氣動力的阻力分量有阻礙翼面旋轉的趨勢，兩翼面上的阻力共同作用，形成對螺旋槳繞豎直質心軸的阻力矩，當此力矩與前述的驅動力矩(力螺旋的力偶分量) 達到平衡時，螺旋槳將停止加速，以一個比較穩定的角速度旋轉.

另，從廣義能量守恆的角度同樣能解釋為何旋轉的螺旋槳下落時間較長.

若忽略熱能等變化的影響，此問題則可近似以機械能守恆問題對待. 下落過程中，以螺旋槳及螺旋槳所能擾動的所有空氣作為研究對象. 螺旋槳下落的過程就是螺旋槳本身的勢能向自身動能以及空氣動能轉化的過程. 若螺旋槳不轉動，其對空氣的擾動也會較小，空氣的動能則可以忽略不計，螺旋槳的勢能幾乎全部轉化為自身下落時的平動動能. 顯然，速度會更快，下落時間會更短. 旋轉螺旋槳自身動能由兩部分組成，分別為隨質心下落的平動動能和繞質心軸轉動的動能. 轉動越快，轉動動能以及對空氣的擾動(與迎角有關) 也會越強，因轉動而傳遞給空氣的能量也會越多. 總的機械能是守恆的，轉動動能和空氣的動能所佔比例增高，平動動能所佔比例必然減小，表現為下落時的平動速度就會較小，下落時間就會更長.

3 直升機的自動降落

直升機是人類的偉大發明之一，其靠旋翼旋轉產生的升力使自身升空並飛行. 旋翼的旋轉依靠的是發動機的動力. 如果在空中飛行的直升機發生發動機故障，突然停車，將會發生什麼？不要想當然地認為只要發動機停車，直升機就會馬上從天上摔下來. 直升機在無發動機動力的狀態下的降落稱為自動降落. 直升機在設計時，都會要求其具有在失去動力時，能得到有效控制並以合理的速度返回地面的能力. 直升機在發動機停車時，若控制及時得當，旋翼會繼續旋轉，直升機慢慢下降，能避免快速墜地、機毀人亡. 旋轉的紙折螺旋槳下落時間較長，落地速度較小的特性中蘊含的力學原理正是現代直升機自動降落安全性保證的重要理論依據.

直升機在發動機停車時的自動降落過程中升力的產生與紙折螺旋槳旋轉降落過程中升力的產生原理相同，只是前者的動力學過程比後者更複雜一些.

自動降落過程中，直升機旋翼與紙折螺旋槳兩翼相似，旋轉時同樣能提供使直升機緩降所需的升力. 但是，直升機旋翼平面投影面積較小，且向上傾斜的角度很有限；再者，旋翼縱向中心線與旋翼轉軸距離較小，類似於圖4 中紙折螺旋槳的驅動力矩非常有限，產生的升力不足以使直升機安全緩降. 實際上，自動降落過程中，旋翼旋轉的驅動力矩來自於作用於葉片上的空氣動力.

首先明確一些概念. 通常將旋翼葉片橫截面稱為翼型. 翼型前緣與後緣的連線稱為翼弦. 翼弦與旋翼旋轉平面之間的夾角稱為槳距. 翼弦與前方來流流線的夾角稱為迎角. 旋翼上的升力和阻力與旋翼上的當地迎角有關. 當迎角過大時，旋翼上表面大部分區域出現渦流，升力急劇降低，阻力急劇升高，此現象稱為失速.

當發動機停車時，旋翼還在繼續旋轉，升力向上. 因失去發動機動力，旋翼轉速逐漸減小，提供的升力不足以對抗重力，直升機高度開始下降，單位時間內下降的高度稱為下降率. 此時，旋翼縱向上各點的速度矢量關係類似於紙折螺旋槳翼片上點的速度矢量關係(如圖7 所示)，不同點的絕對速度不同，當地旋翼迎角也會不同. 如圖8 中所示，選擇旋翼上3 個不同位置繪出速度矢量關係. 空氣動力用F表示，上標1, 2, 3代表3 個不同位置；各位置牽連速度相同，不以上標區分.

直升機旋翼翼尖區域迎角較小，氣動力合力相對於豎直方向向後傾斜，其水平分量阻礙旋翼旋轉，如圖8 中位置1. 旋翼上氣動力有此特徵的區域稱為「被驅動區域」. 隨著離槳榖距離的減小，當地迎角逐漸變大，氣動力合力相對於豎直方向逐漸轉變為向前傾斜，其水平分量能驅動旋翼旋轉，如圖8中位置2. 旋翼上氣動力有此特徵的區域稱為\驅動區域". 持續靠近槳榖，迎角繼續增大，當迎角過大時，旋翼將會達到失速狀態，如圖8 中位置3. 此區域稱為「失速區域」.3 種不同區域在圖8 中用虛線示意.

3 個區域的大小隨旋翼槳距、下降率以及轉速不同而變化. 當直升機發動機突然停車時，若能及時合理控制旋翼槳距，調整3 個區域的比例關係，就能實現旋翼的持續旋轉並提供一定升力使直升機緩降，減少可能損失.

自轉旋翼機旋翼上的空氣動力與紙折螺旋槳和直升機自動降落時的葉片上的空氣動力相似. 運用螺旋槳推進，通過無動力旋翼自由旋轉提供升力的飛行器稱為自轉旋翼機，如圖9 所示. 自轉旋翼機前進時，旋翼以小角度向後傾斜與前方相對來流作用，產生的空氣動力能驅動自身旋轉，並持續提供整機所需升力，實現升空飛行.

圖8 自動降落時旋翼的氣動力

圖9 自轉旋翼機

4 結束語

力學就在身邊，紙折螺旋槳就是一個小小例證，它實現了認識力學原理從玩具到工程實際的遷移. 在學習力學知識的過程中，大家要多留心身邊事物，試著去解釋其中的力學內涵並發現力學美，體會認識自然的樂趣. 這也許是學習、理解、固化力學知識的一種不錯方法.

內容來自《力學與實踐》期刊。

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