一元函數是數學分析研究的主要對象之一，它所依賴運行的平臺是實數（定義域值域），而第一章《實數集與函數》並沒有徹底解決實數的問題，比如無理數是如何產生的？建立實數遵循什麼原則？實數的完備性如何表現出來？實數的運算是如何定義的？
第一章只是過渡性的內容，從同學們熟悉的中學知識出發，給出了實數比較淺顯的六大性質（關於四則運算是封閉的；有序性；傳遞性；阿基米德性；稠密性；與數軸有著一一對應關係），唯一一個比較內在的刻畫，是確界及確界原理。
要揭示實數本身的性質，需要一套理論工具，即第七章《實屬完備性》的知識。實數完備性定理一般指以下六個定理：
1 確界原理
2 單調有界定理
3 閉區間套定理
4 有限覆蓋定理
5 聚點(緻密性)定理
6 柯西收斂準則
有的教材上把聚點定理和緻密性定理單獨地列出，稱為實數完備性的七個定理。上述六（七）個定理是互相等價的，由其中任何一個都可以推出其餘的每一個，它們都從各個不同的側面反映實數系的完備性。定理內容大表哥從教材中摘錄出來，供同學們參考。
從宏觀和微觀的角度，可把這些定理分為兩大類:其中1，2，3，5，6屬於同一類型，而4則屬於另一類。前一種類型的共同點是，它們都指出了在某種條件下必有某種點的存在性，體現了將「整體」收縮為「局部」的特點。
利用這幾個定理來證明結論，通常將所要證明的結論歸結為某個特殊點的局部性質。例如，利用閉區間套定理，可以證明不動點的問題。
有限覆蓋定理則不同，，它是把在每一點的某個領域內的局部性質拓展為整個區間上的整體性質，體現了由「局部」推廣到「整體」特點。例如，可以用有限覆蓋定理證明函數的一致連續性定理（課後的第11題），而一致連續性定理就是典型的函數的整體性質。
實數完備性定理，是數學分析賴以建立的理論工具。由於這些定理是互相等價的，故從原則上來講，一個結論，可以用其中任意其餘的一個定理證明，但在實際操作過程中，證明的難易程度是不同的。有時，換一種定理來證，難度較大，甚至需要較高的技巧，所以選擇合適的證法很重要。大表哥給出證明相互等價的結論所需要把握的兩個基本的原則：
1如果要證明的結論涉及「局部」(某個點)的問題，可優先選用前一類的定理,採用直接證法來證。而如果要用有限覆蓋定理來證，則往往就要考慮用反證法。
2 如果要證明的結論涉及「整體」(全區間)的問題，則優先考慮有限覆蓋定理，採用直接證法來證。同樣，如果要用前一類的定理來證，則往往就要用反證法。
本章的技術難度相對較大，具有非常濃厚的分析特點，敏銳的同學已經嗅出了實變函數（實分析）的特色。在備考的過程中，請同學們抓住本章教材上的定理和例題，確保這些內容徹底搞懂，對於我們進一步認識分析，有著質的提升。
如果你的目標院校是985及熱門的211（尤其數學有博士點的）院校，則基礎階段需要系統認真的複習，再結合真題，做課後相應的練習。本章的習題（包括資料書上的題目）不算太多，同學們多看多寫（模仿著寫），記住幾個經典的套路，對付考研問題不大。往往看著高大上的內容，考試反而容易得分，相信同學們都有這樣的體會。
如果同學們在基礎階段覺得這部分內容難度過大，也可以暫時先放著，數學分析第一輪複習結束之後，再回過頭來看，也許就不會覺得它們高深莫測了。
加油少年們！！！
我是大表哥，關注我，數學考研不翻車！
數學分析第六章《微分中值定理及其應用》備考指南
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數學分析第三章《函數極限》備考指南
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