如何用R畫正態分布圖?

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內容提要

什麼是正態分布

如何產生服從正態分布的R數據

如何用R畫正態分布圖

正態分布曲線圖

正態分布曲線+直方圖

給正態分布圖填充顏色

對正態分布圖的特定區域填色

什麼是正態分布？

    正態分布由以下概率密度函數定義，其中μ是總體均值，σ2是方差。

    如果隨機變量X服從正態分布，則記作：。

    當μ=0，σ=1時的正態分布，稱為標準正態分布，記作：N(0,1)。標準正態分布圖如下：

圖 1.    標準正態分布圖

（用curve函數繪製）

    標準正態分布圖代碼如下：

x <- seq(from=-5, to=5, by=.1)curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), col="violet", xlim=c(-5,5), lwd=2, main="standard normal distribution", sub="curve() function")
代碼分析：
    首先，同樣需要構造x值，採用seq()函數，從-5至5，增量為0.1。
    其次，繪圖採用curve函數。當然用plot函數繪製更方便，讓參數type="l"即可。
    也許你會問，curve函數和plot函數有什麼區別呢？curve函數的y值需要提供表達式（expression，簡寫為expr），如dnorm(....)，而不像plot直接給出y變量，如plot(x, y, type="l")。
    另外正態分布很重要，在假設、公式推導、生活中經常會用到。還記得《機器學習》中線性回歸的概率解釋嗎？其中提到誤差項ε(i)服從正態分布（或高斯分布），有同學問為什麼誤差項服從正態分布，有個很重要的定理就是中心極限定理：當樣本數量n接近無窮大時，具有均值為μ和方差σ2總體的群體接近均值為μ和方差為σ2/n的正態分布。（which states that the population of all possible samples of size n from a population with mean μ and variance σ2 approaches a normal distribution with mean μ and σ2∕n when n approaches infinity.）
如何產生服從正態分布的R數據？
    R對每種分布函數（如二項式分布、超幾何分布、泊松分布等）都有4個不同的函數功能，包括概率密度函數、累積分布函數、分位數函數、隨機數函數，分別用小寫字母d、p、q和r表示。
    對於正態分布而言，它的4個構造正態分布的函數為：dnorm、pnorm、qnorm、rnorm，其對應含義見表1。
表 1.    分布函數d、p、q和r的意義
    同理，如果對於二項式分布，這些函數是pbinom、qbinom、dbinom以及rbinom。
使用方法：
dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rnorm(n, mean = 0, sd = 1)
*註：pnorm(q)、qnorm(p)沒有寫錯，R官方說明文檔對p、q的解釋如下：
x, q: vector of quantiles.
p: vector of probabilities.
    累積分布函數（pnorm）輸入的是分位數，而分位函數輸入的是概率。
上述函數的參數說明：
    那麼dnorm（密度函數）、pnorm（分布函數）、qnorm（分位數函數）與rnorm（隨機數函數）的區別是什麼？
dnorm()：
    對於給定的平均值和標準偏差，返回每個點處的概率分布的高度。
rnorm()：
    將樣本大小作為輸入並生成服從正態分布的隨機數。
pnorm()：
    累積分布函數（簡稱為「分布函數」）是概率密度函數的積分，其定義為：對任一隨機變量X，對於任意給定值a，所有小於a的X出現的概率和，就是隨機變量X的分布函數。
    pnorm根據輸入值計算相應的累積概率，y軸表示概率。可以通過下圖形象的表示為在x點左側事件發生的總和。通常累積分布函數用大寫CDF或c.d.f表示。之所以用p表示，是因為函數返回概率值（probability）。
qnorm()：
    分位數函數是累積分布函數的反函數，表示給定概率值，計算獲得概率和為p的隨機變量上限。其自變量（概率值）在0到1之間取值。
 圖 2.    累積分布函數與分位數函數的比較
（圖片來自https://www.face2ai.com/Math-Probability-3-3-Cumulative-Distribution-Function/）
    在圖2中，左圖表示累積分布函數，X1對應的值為概率之和p。右圖表示分位數函數，p對應的X1值，即概率和為p的隨機變量上限。
如下面代碼所示：
# 累積分布函數返回值為概率# 表示小於等於1.2的點的概率之和 > pnorm(1.2, 0, 1)[1] 0.8849303> qnorm(0.89, 0, 1)[1] 1.226528 # 分位數函數輸入值為概率，返回值為分位數，# 表示概率和為0.89的隨機變量上限 
    為了將4種函數結果可視化如下：
圖 3    dnorm、pnorm、qnorm與rnorm函數的比較
    代碼如下：
op <- par(mfrow = c(2, 2))
x <- seq(from=1, to=100, by=2)density <- dnorm(x, mean(x), sd(x))plot(x, density, pch=19, xlab="x", ylab="Density", col="dark green", main="dnorm: density function", mgp = c(2, 1, 0))
x <- seq(from=1, to=100, by=2)cumulative <- pnorm(x, mean(x), sd(x))plot(x, cumulative, pch=19, xlab="x", ylab="Cumulative Probability", col="dark green", main="pnorm: distribution function", mgp = c(2, 1, 0))
probability <- cumulativequantile <- qnorm(probability, mean(probability), sd(probability))plot(probability, quantile, pch=19, col="dark green",  xlab="Cumulative Probability", ylab="Quantile", main="qnorm: quantile function", mgp = c(2, 1, 0))
x <- rnorm(100)hist(x, prob=TRUE, col="dark green", xlab="random number", main="rnorm: random draws from Std Normal", mgp = c(2, 1, 0))
par(op)
補充：
    參數mgp表示邊距線，即坐標軸名稱、標籤與坐標軸的邊距線。默認為c(3, 1, 0)。因為剛開始畫圖的時候發現沒有x軸名稱，原因是x軸名稱與x軸相距較遠，已經出畫圖邊界了，採用默認的c(3,1,0)，所以調整為c(2,1,0)。
如何用R畫正態分布圖？
    用R畫正態分布圖，最基本的就是用plot、curve或lines函數繪製。代碼及繪圖結果請參考圖1。
    如果想繪製正態分布曲線+直方圖這種形式，需要同一張圖上分別繪製曲線圖和直方圖。
    其中，直方圖用hist()函數繪製，hist是histogram直方圖的簡寫。hist函數只需提供x值即可。另外，選擇參數probability = TRUE，表示其縱坐標為概率密度表示而不是頻率（frequency）。
    曲線可以用curve或lines()函數繪製，圖3採用lines()函數繪製。另外提示，如果在直方圖存在的情況下用curve畫正態分布曲線，需要添加curve(add = TRUE)的參數，表示在已存在的圖形上添加曲線。
圖 4.    正態分布直方圖+曲線圖

    參考代碼如下：
x1 <- rnorm(1000, mean=10, sd=0.2)
# 先用hist()函數畫直方圖，probability=TRUE表示y軸用密度表示hist(x1, probability=TRUE, col="grey")
# x2的序列長度為100，即100個數值，從x1最小值只x1最大值x2 <- seq(min(x1), max(x1), length.out=100)y <- dnorm(x2, mean=10, sd=0.2)# 用lines()函數添加正態分布曲線lines(x2, y, col="dark green", lwd=2)
    由於R的plot函數只能畫線不能填充顏色，polygon()函數中的col參數可以填充多邊形的顏色。
    因此，對於正態分布圖的填色建議使用ggplot2，其中的geom_area()函數可以完成填色需求，具體方法及代碼請參考上期文章如何用R給曲線填充顏色？，因此本次不再贅述。
圖 5.    用ggplot2給正態分布曲線填充顏色
    給正態分布曲線的某一區域填色，就需要用到前面提到的polygon()多邊形函數了。其中，x、y分別表示多邊形頂點的坐標，另外x與y的向量長度必須相等。
    首先，需要繪製正態分布曲線，可以用plot繪製，也可以用lines函數繪製。如果用lines函數，需要先將plot函數中的繪圖功能取消，即type="n"。type="n"的具體解釋請參看文章R語言plot函數中參數type="n"是什麼意思？，此處不再贅述。
    其次，在正態分布曲線繪製完成後，利用polygon多邊形函數填充某一區域顏色。
    最後添加x坐標軸以及其他文字說明。繪製結果如下：
圖 6.    正態分布某一區域填充顏色
    代碼如下：
x <- seq(from=1, to=100, by=2)y <- dnorm(x, mean(x), sd(x))plot(x, y, type="l", axes=FALSE, xlab="score", ylab="", main="normal distribution")
i <- x >= 33 & x <= 71polygon(c(33,x[i],71), c(0,y[i],0), col="pink")axis(1, at=seq(0, 100, 20))area <- pnorm(71, mean(x), sd(x)) - pnorm(33, mean(x), sd(x))result <- paste("P(",33,"< score <", 71, ") =", signif(area, digits=3))mtext(result, 3)
補充：
1、plot沒有畫坐標軸，參數為axes=FALSE。
2、為什麼polygon函數中x、y的向量是3個數值？
polygon(c(33,x[i],71), c(0,y[i],0), col="pink")
    x取3個點，點分別位於x軸上、曲線上、x軸上；y取相應的3個值，分別是0、曲線上點對應的y值、0。y=0是因為點位於x軸上。
    3個點相當於畫出一個三角形，按照ploygon()函數默認的順時針方向，固定x軸的2個臨界點，以左邊臨界點對應值曲線上的點為起點，沿著曲線逐步填充顏色，至右側臨界點對應曲線上的點為終止。這也就是對變量i賦值，選擇ploygon()不斷迭代畫圖的原因。
圖 7.    polygon多邊形填色分解動作
    圖中A、D點分別為感興趣區域的臨界值，polygon函數默認按照順時針方向，沿著曲線，從起點A經過曲線高度值最高的B點至C點，到D點結束。
3、area計算的是什麼？
    area變量表示面積，用pnorm()累積分布函數計算面積，即2個臨界值的面積之差表示多邊形的面積。
4、signif又是什麼？
    signif()函數是保留有效位數的函數，其中參數digit設定保留位數。如下圖代碼所示：
# 如果a為小數，signif與round效果一致，四捨五入。> a = 0.17398> signif(a, digit=3)[1] 0.174> round(a, digit=3)[1] 0.174
# 如果b為正整數，signif將3位有效數字之後的數值改為0.> b=3127531> signif(b,digit=3)[1] 3130000> round(b,digit=3)[1] 3127531
    signif() vs round()：
    signif()強調有效位數（significant digits），而round()強調小數點後的位數（the number of decimal places）。
    如果數值為正整數，有效位數後的數字均用0表示，如上述代碼所示，3127531取3位有效數字後為3130000（第3位先四捨五入），而round函數後的數字沒有變化；如果數值為小數，則signif與round都是四捨五入的意思，結果相同。
總 結
    本文介紹了用R繪製不同需求正態分布圖的方法，如：
正態分布曲線圖：用plot()、curve()、lines()函數；
直方圖+曲線圖：用hist() + lines()或curve()函數；
曲線與x軸之間填色：用ggplot2的geom_area()函數完成；
正態分布某一區域填色：polygon()函數填色，前提是需要先用plot()設置圖形屬性。x、y向量分別取3個點，迭代繪製。
    另外，本文還介紹了R中正態分布的4個函數：密度函數dnorm、累積分布函數pnorm、分位數函數qnorm以及隨機數函數rnorm。
    最後，對繪圖用到的一些函數細節進行說明，如hist(x, prob=TRUE)表示縱坐標用密度表示；對曲線多邊形填充顏色，需要polygon()函數的x、y向量分別提供3個值，並對變量i賦值在感興趣的區域內，以三角形為單位迭代填色；plot的mpg參數可以調整坐標名稱與坐標軸的距離；curve(expr)輸入值為表達式而不是y值；signif()表示有效數字，而round表示小數點後保留位數。
    希望這篇文章能對大家工作學習有所啟發。如有疏漏之處，還請指正。
開心~(｡◕ˇ∀ˇ◕)
補充
follow 服從，如：a random variable X follows the normal distribution，隨機變量X服從正態分布
Central Limit Theorem 中心極限定理
Probability Density Function (PDF) 概率密度函數
bell shape curve 鐘形曲線
inverse function 反函數
參考網址
http://www.r-tutor.com/elementary-statistics/probability-distributions/normal-distribution
http://www.stat.umn.edu/geyer/old/5101/rlook.html
https://www.tutorialspoint.com/r/r_normal_distribution.htm
https://mattmazur.com/2014/10/25/plotting-a-normal-distribution-with-r/
https://www.statmethods.net/advgraphs/probability.html
https://www.r-bloggers.com/normal-distribution-functions/
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