累加法,求解數列通項公式的基本方法

累加法是遞推法求解數列通項公式的兩大基本方法之一(另一個基本方法是累乘法，將在後面的文章中進行專題講解)，前面學習過的等差數列的通項公式便是用累加法推導得出的。本文對累加法求解數列通項公式進行專題講解，以供大家參考！

一、累加法的基本方法：

1.適用條件（基本形式）：

對於形如a(n+1)=an+f(n)或者a(n+1)-an=f(n)的關係式，其中f(n)可以為常數(此時為等差數列)、也可以是關於n的函數如一次函數、分式函數、二次函數和指數函數等，此時求解通項公式時均可使用累加法。

特別提醒：當題目中給出的兩項位於「=」兩邊或者經過變形後位於「=」兩邊時，如果這兩項的係數相等，那麼此時用累加法求解。

2.基本方法：

如果a(n+1)=an+f(n)或者a(n+1)-an=f(n)，則常用下面兩種形式進行求解：

方法一：

a(n+1)-an=f(n)；

an-a(n-1)=f(n-1)；

.

.

.

a2-a1=f(1).

將上面的式子左右兩邊分別相加，即可得到：

a(n+1)-a1=f(1)+f(2)+……+f(n)；

整理可得出該數列的通項公式。

方法二：

(a(n+1)-an)+(an-a(n-1))+……+(a2-a1)=f(n)+f(n-1)+……f(1)，坐標括號打開後就只剩下a(n+1)-a1，再整理即可得到該數列的通項公式。

不管是方法一還是方法二，都會涉及到數列的求和問題，如果有需要可以參考前面的專題文章。

下面通過兩道例題來看看具體怎麼應用。

二、典型例題

總結：累加法求解數列通項公式的題目難度通常不大，關鍵要掌握以下兩點：

①要能夠快速判斷出什麼時候用累加法：兩項位於等式兩邊時的係數相同；

②對f(n)的求和。對於f(n)求和的常見方法有：

A.一次函數型：等差數列求和公式求和；

B.分式函數型：裂項相消求和；

C.二次函數型：分組求和；

D.指數函數型：簡單的直接用等比數列求和公式，複雜的先分組再分別求和。

下面再通過兩道練習題鞏固一下累加法。

累加法求解數列通項公式就分享到這裡，如有疑問，歡迎留言討論！