撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）
所有學物理的人，按說都知道柏林大學教熱力學的普朗克老師 (Max Planck, 1858-1947) 。普朗克老師上大學時學物理不是為了將來有什麼成就，他說他就是想學懂物理，結果他還真做到了——經典力學、電動力學和熱力學，普朗克老師是全吃透了其精髓。普朗克老師學習物理肯定是下了狠功夫的，學物理掉頭髮的梗可能就是來自他老人家 (圖1) 。普朗克老師是相對論的奠基人，是熱力學的拓展者，是統計力學的反對者和擁護者。
普朗克老師是相對論的奠基人，在於他1906年就跟上了相對論研究，第一個寫出了質能方程 E=mc^2，培養了第一個相對論專業的博士。此外，他還是第一個派助手勞厄 (Max von Laue，1879-1960. 勞厄也是相對論奠基人之一) 去看望那個窮困潦倒的年輕人愛因斯坦的，普朗克因此有愛因斯坦學術監護人的說法，後來還和愛因斯坦於1929年共同獲得了第一屆普朗克獎 (獲得用自己名字命名的大獎，不亦樂呵呵乎！ ) (圖2)。
圖1. 青年普朗克與普朗克老師
圖2. 普朗克老師和愛因斯坦一起獲首屆普朗克獎(1929)
普朗克是量子論的先驅，但似乎不能算是量子力學的奠基人。在1900年的文章 [M. Planck, Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum (標準譜能量分布律理論)，Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2，237–245(1900)] 中，普朗克用能量量子假設 ε=hν 再次得到了他在此前一篇文章 [M. Planck, ber eine Verbesserung der Wien'schen Spectralgleichung (維恩譜方程的改進), Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 202–204(1900)] 中得到的黑體輻射譜分布公式，即所謂的普朗克分布公式，
普朗克的這篇文章被當作量子論的開端，愚以為這與科學史的事實不符——玻爾茲曼1877年就引入了動能量子化得到了氣體的麥克斯韋分布公式，而量子化說到底還是回到了1854年黎曼引入quanta一詞時的本義，即幾何量子化。後來普朗克在其1913年的熱力學教程第二版中闡述了這一點，結果被印度青年玻色給讀懂了。在此後十餘年的時間裡，普朗克對待能量量子的態度同愛因斯坦等人的態度截然相反，可以說他並不期待一個所謂的量子理論而只是希望在新的物理理論中，作用量子h，普朗克嘴裡的Wirkungsquantum，危害小點兒就好。當然了，普朗克本人是一直在思考量子與黑體輻射問題的，他稱自己那些年裡的所作所為是絕望行動 (Akt der Verzweiflung)。
然而，在1911年底，普朗克提交了當前的這篇論文 [Max Planck, ber die Begründung des Gesetzes der schwarzen Strahlumg, Annalen der Physik 37, 642-656(1912). 譯文全文「黑體輻射定律的依據」將發表在《物理》雜誌2020年第6期上] ，在一個新的振子發射機理的基礎上，普朗克再次得到了黑體輻射公式，這是普朗克自己的第三種黑體輻射公式推導方式，也是繼愛因斯坦在1906年, 1907年和1910年，洛倫茲在1908年，德拜在1910年，艾倫菲斯特在1911年各種花式推導黑體輻射公式後的新嘗試。這篇文章絕對是物理學史上裡程碑式的存在。在這篇文章中，普朗克不僅再次如願以償地得到了黑體輻射公式，關鍵是他還第一次使用了對應原理 (這是後來構建量子理論時會頻繁用到的一種方法，比如狄拉克就成功地用這個原理導出了量子化條件
) ，還第一次導出了振子的零點能，hν。也就是說，普朗克老師在這篇文章中完成了物理學概念層面上的一箭三雕。就筆者所知，這應該算是絕無僅有的了，我不知道物理史上還有哪個單篇有如此高的成就。
如果要推舉近代物理史上前三個重要概念，我估計結果會是沒結果，眾說紛紜是必然的。但如果說黑體輻射、對應原理與零點能都是近代物理中重要的基礎概念，恐怕有異議的人不多。雖然，中文關於黑體輻射的介紹常常是熱力學、統計力學、光學或者量子力學教科書中的三言兩語，這反映的是作者的輕蔑而絲毫不影響黑體輻射是近代物理搖籃的地位，其博大精深是鮮有其匹的。黑體輻射的推導除了前述幾種推導以外，後來還有愛因斯坦1917年，泡利1923年，玻色1924年以及基於廣義相對論的多種推導，導出了受激輻射、散射理論、量子統計等概念甚至嶄新的物理領域 [參見曹則賢，黑體輻射公式的多種推導以及在近代物理構建中的意義，待發表] 。現在，讓我們仔細學習普朗克老師的這篇論文，看看他是如何做到一箭三雕的。普朗克在這篇文章中的各種驚豔操作是否合理、妙處何在，讀者諸君請自行體會。
本文的神奇之處在於對具有一定能量的振子如何發射電磁輻射的假設。普朗克假設，振子只在其能量達到能量單元 ε=hν 的整數倍 nhν 時才會發射輻射，具體的因果性發射機制不知道，但發射以隨機的方式進行：發射的概率為 η，不發射而後繼續吸收能量的機率為1-η。也就是說，每一次當振子的能量 U 為 U=nhν 時，其將全部能量 U 發射出去的事件就可能發生，概率為 η，發射後振子回到靜止狀態開始下一輪的能量積聚。普朗克進一步地制定了振子的發射規則，其不發射的概率相對於發射的概率之比正比於激勵振子的那個外部振動的強度，J, 即
其中的 ε 是在有第一次發射機會前振子的平均能量，(n+)ε 是經歷了n次發射機會但從未發射的振子的平均能量。注意，這裡的這個是作為從0到1的均勻分布 (等測度) 之平均值的面目出現的。這個，相較於後來人們恣意發揮的、怪力亂神式的零點能概念，非常好理解，也容易接受。
如上，在給定強度的穩恆輻射場中的N個相同振子組成之系統的能量分布，就這樣唯一地決定了。接下來，就能以熟知的方式計算系統的熵和溫度了。首先，系統的熵為
按照普朗克老師對待 h 的態度，我估計他接下來怎麼也要想辦法「掰扯掰扯」這個莫名其妙的 hν。然而，沒等他來得及擺脫或者至少再論這個，愛因斯坦和Otto Stern (Stern-Gerlach實驗中的那位) 在1913年就拿這個零點能的概念迅速解釋了氫低溫比熱的實驗結果 [A. Einstein and O. Stern, Einige Argumente für die Annahme einer molecular Agitation beim absoluten Nullpunkt (關於絕對零點下分子激勵假設的討論), Ann. Phys.(4) 40, 551 (1913)] 。注意，愛因斯坦的這個零點，Nullpunkt，指的是那個永遠達不到的絕對溫度的零點。奇怪的是，愛因斯坦的原文中不僅有振子能量
普朗克老師這樣一箭三雕的推導，怕是再也不會有了。