初三數學 中考幾何模型系列 利用三角形的角平分線構造全等三角形

#中考數學複習#今天我們繼續學習初中幾何模型系列，之前分享了共頂點模型、含半角模型、對角互補模型等，感興趣的同學可以查看一下。

今天呢學習的是利用三角形的角平分線構造全等三角形。

利用三角形的角平分線構造全等三角形

01模型講解

角平分線的兩個性質：

角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.這兩條性質具有互逆性.因為角是關於角平分線的軸對稱圖形.因此，可以利用角平分線構造全等三角形進行邊、角、面積等的集中或轉移.

常見的構造方法如下.

1.構距離，造全等

有角平分線時，常過向平分線上的點向角兩邊引垂線.根據角平分線上的點到角兩邊矩離相等，可構造出相應的全等三角形而巧妙解決問題，如圖1,這裡構造的是直角三角形，證明全等的方法可以有「SAS,SSS,ASA,AAS,HL".

圖1

2.巧翻折，造全等

以角平分線為對稱軸，在角兩邊截取相等的線段，常見的是截長補短，構造全等三角形，如圖2.這是證明等量關係時常用的方法.

圖2

3.構等腰，造全等

過角平分線上的一點作角平分線的垂線，與角兩邊相交，從而形成等腰三角形.這裡可以使用「ASA"證全等，而且可以使用等腰三角形的「三線合一」性質，如圖3.

圖3

02例題

(1)如圖4,已知等邊△ABC,將直角三角形的60°角頂點D任意放在BC邊上(點D不與點B、 C 重合)，使兩邊分別交線段AB、AC於點E、F.

圖4

① 若 AB = 6,AE=4,BD = 2,則 CF=_____.

② 求證：△EBD∽△DCF.

(2)若將圖4中的三角板的頂點D在BC邊上移動，保持三角板與AB、AC的兩個交點E、F都存在，連接EF.如圖5.問點D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求岀BD/DC的值，若不存在，請說明理由.

圖5

6(3)如圖6.在等腰△ABC中，AB=AC,點O為BC邊的中點，將三角形透明紙板一個頂點放在點O處(其中∠MON=∠B),使兩條邊分別交邊AB、AC於點E、F(點E、F均不與△ABC的頂點重合),連接EF.設∠B=α,則△AEF與△ABC的周長之比為_____(用含α的表達式表示).

圖6

03例題剖析

⑴①先求出BE的長度.可發現BE=BD.又因為∠B=60°,.可知△BDE是等邊三角形，可得∠BDE=60°.另外∠EDF=60°,可證得△CDF是等邊三角形，從而CF=CD=BC - BD.

②證明△EBD∽△DCF.這個模型可稱為「一線三等角相似模型」根據「AA」判定相似.

(2) 由平分線可聯繫到角平分線的性質「角平分線上的點到角兩邊的距離相等」,可過D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF,則DM =DG=DN,從而通過證明△BDM≌△CDN可得BD=CD；

(3) 設AB=m,由已知條件不難求得△ABC的周長=AB+BC+AC =2AB+2OB=2m+2m*cosα,則需要用m和α的三角函數表示出△AEF周長=AE+EF+AF；題中已知O是BC的中點，應用第⑵題的方法和結論，作OG⊥BE,OD⊥EF,OH⊥CF,可得EG=ED,FH=DF,則△AEF 周長=AE+EF+AF = AG+AH=2AG.而 AG=AB-GB,從而可求得.

04例題解析

⑴ ①因為△ABC是等邊三角形，故AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°.

因為 AE=4,可知 BE=2,即BE=BD.因此△BDE是等邊三角形,∠BDE = 60°.

又因為 ∠EDF = 60°，所以 ∠CDF = 180° - ∠EDF - ∠B=60°.

則∠CDF =∠C=60°,故△CDF是等邊三角形，所以 CF = CD=BC-BD=6-2=4.

②因為∠EDF = 60°,∠B=6O°,所以∠CDF + ∠BDE=120°,∠BED+∠BDE = 120°.

可知∠BED=∠CDF,又 因為∠B = ∠C,所以△EBD∽△DCF.

（2）如圖7,作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF,垂足分別為M、G、N.

因為BD平分∠BEF且FD平分∠CFE,所以DM =DG= DN，

又因為∠B=∠C=60°，∠BMD =∠CND=90°, 所以△ BDM≌△CDN,有BD=CD，

即點D是BC的屮點，因此BD/DC=1.

圖7

(3)連接AO,作OG⊥BE,OD⊥EF,OH⊥CF,垂足分別為G、D、H，如圖8.

則 ∠BGO = ∠CHO = 90」.

因為AB=AC,O是BC的中點,所以∠B=∠C,OB=OC.

則△OBG≌△OCH，有OG=OH ,GB=CH,∠BOG=∠COH90°- α.

則∠GOH = 180°- (∠BOG+∠COH)= 2α.

因為∠EOF=∠B=α,則∠GOH=2∠EOF=2α.

由第（2）題可猜想應用EF=ED+DF=EG+FH（可通過半角旋轉證明）.

則△AEF周長=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG.

設 AB=m ,則OB=m*cos α ,GB =m* cosα，故