典型例題分析1：
設a∈R，函數f（x）=（x-a）/（x+a）2．
（1）若函數f（x）在（0，f（0））處的切線與直線y=3x﹣2平行，求a的值；
（2）若對於定義域內的任意x1，總存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值範圍．
解：（1）函數f（x）=（x-a）/（x+a）2的導數為
f′（x）=（3a-x）/（x+a）3，x≠﹣a，
可得函數f（x）在（0，f（0））處的切線斜率為3/a2，
由題意可得3/a2=3，解得a=±1；
（2）對於定義域內的任意x1，總存在x2使得f（x2）＜f（x1），
即為f（x）在x≠﹣a不存在最小值，
①a=0時，f（x）=1/x無最小值，顯然成立；
②a＞0時，f（x）的導數為f′（x）=（3a-x）/（x+a）2，
可得f（x）在（﹣∞，﹣a）遞減；
在（﹣a，3a）遞增，
在（3a，+∞）遞減，
即有f（x）在x=3a處取得極大值，
當x＞a時，f（x）＞0；x＜a時，f（x）＜0．
取x1＜a，x2≠﹣a即可，
當x1＜﹣a時，f（x）在（﹣∞，﹣a）遞減，
且x1＜x1+|x1+a|/2＜﹣a，
f（x1）＞f（x1+|x1+a|/2），故存在x2=x1+|x1+a|/2，
使得f（x2）＜f（x1）；
同理當﹣a＜x1＜a時，令x2=x1﹣/2|x1+a|，
使得f（x2）＜f（x1）也符合；
則有當a＞0時，f（x2）＜f（x1）成立；
③當a＜0時，f（x）在（﹣∞，3a）遞減；
在（3a，a）遞增，在（﹣a，+∞）遞減，
即有f（x）在x=3a處取得極小值，
當x＞a時，f（x）＞0；
x＜a時，f（x）＜0．
f（x）min=f（3a），當x1=3a時，不存在x2，
使得f（x2）＜f（x1）．
綜上可得，a的範圍是[0，+∞）．
考點分析：
導數在最大值、最小值問題中的應用；利用導數研究曲線上某點切線方程．
題幹分析：
（1）求出f（x）的導數，求得切線的斜率，解方程可得a的值；
（2）對於定義域內的任意x1，總存在x2使得f（x2）＜f（x1），即為f（x）在x≠﹣a不存在最小值，討論a=0，a＞0，a＜0，求得單調區間和極值，即可得到a的範圍．
典型例題分析2：
已知函數f（x）=lnx，g（x）=ax/2+b．
（Ⅰ）若f（x）與g（x）在x=1處相切，試求g（x）的表達式；
（Ⅱ）若Φ（x）=m（x-1）/（x+1）在[1，+∞）上是減函數，求實數m的取值範圍；
（Ⅲ）證明不等式：1/ln2+1/ln3+1/ln4+……+1/ln（n+1）＜n/2+1+1/2+1/3+……+1/n．
考點分析：
利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．
題幹分析：
（Ⅰ）求出函數的導數，根據f′（1）=a/2，求出a的值，根據g（1）=0，求出b的值，從而求出g（x）的解析式即可；
（Ⅱ）求出φ（x）的導數，問題轉化為x2﹣（2m﹣2）x+1≥0在[1，+∞）上恆成立，求出m的範圍即可；
（Ⅲ）根據lnx＞2（x-1）/（x+1）得到：1/lnx＜1/2·（x+1）/（x-1），對x取值，累加即可．
解題反思：
本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道綜合題．