立體幾何中的最值問題常以哪些思路進行分析？既然有最值，則就有未知的數值，這種數值若從函數角度分析可能是某條未知的線段，某個未知的角度，若從幾何的角度分析，可能是某個點的特定位置，或類似於螞蟻爬盒子之類的兩點之間直線最短，又或者是兩條異面直線最短距離的公垂線等等，動態最值問題是立體幾何中綜合性和難度較強的一類問題，與此類似的是動態定值問題，這個以後再說，常見的題型如下：
1.距離或線段長的最值，例如某年高考真題中的爬盒子問題，或求異面直線之間的距離問題。
2.線段之和的最值，最常於一個定點和兩個動點的距離和問題中，將兩個不共面的平面展開成一個平面，利用點到直線的距離求即可。
3.體積或面積的最值，一種情況是能確定出動點在哪個位置時滿足體積或面積的最值，第二種情況就是常見的設線段，找未知量的關係，建立函數求最值。
解題時一定要注意動點和定點的聯繫，從而轉化為不定線段和確定線段之間的關係，因為有動點，動點不是亂點，會滿足特定的幾何關係，因此還需掌握立體幾何中動點軌跡判定的相關知識。
時間有限，今天先給出幾個與線段或線段之和有關的最值問題，與面積或體積有關的最值問題日後再慢慢給出。
先問一個小知識，假如不與平面α垂直且在平面α外的一個三角形在平面α上的投影永遠都是一個直角三角形嗎？
當然不是，投影可為直角三角形，鈍角三角形或銳角三角形，當直角三角形一個直角邊為平面α內或一條直角邊與平面α平行時，此時的射影依舊為直角三角形；當直角三角形的斜邊在平面α內或與平面α平行時，此時的投影為鈍角三角形，這兩種情況之外有可能會出現銳角三角形，重點需要注意直角三角形在平面內的射影依舊是直角三角形的情況，證明時可先做出對應的射影圖形，再在平面α內作出與原直角三角形全等的三角形，比較兩個三角形的形狀即可，這裡不展開了。
題目很容易想到的答案是[0,5],當EF與平面α平行時投影最長，此時投影長度即為EF的長度，當EF與平面α垂直時投影為一個點，此時投影長度為零，但是答案並非如此，當四面體繞著AB旋轉時，EF永遠不可能與平面α垂直，因此投影也永遠不可能是一個點。
若取AC的中點G，可判斷出△EFG為直角三角形，且GF//平面α，所以△EFG在平面α上的投影也為直角三角形，且GF//平面α，則GF的投影為定值，長度與GF相等，所以EF在平面α上投影的長度只與EG投影長度有關，當四面體旋轉時EF可與平面α垂直，這樣根據EG投影長度的最值即可求出EF投影的最值，過程如下：
解讀：錐體中的變化量為PD的長度和∠PED的角度，用常規套路確定出球心的位置在EF上，可知在直角三角形PEF中，EF為其中一條直角邊，斜邊PE的長度確定，設∠PED，根據三角函數即可確定出EF的最大值。
隨著P點移動，O點的位置也在EF上移動，根據題目所示，O點在錐體內，則OE<EF,因此可用OE的變動表示出EF的變動，在上圖右側根據餘弦值可找到OE和EF長度乘積的定值，稍微放縮一下即可得到EF的最小值，題目的關鍵是將立體轉化為平面三角形，找到其中的變量和定值之間的關係即可。
[注意求O1E的時候不能直接2:1,千萬把重心和外心區分開]
解讀：之前推送過一篇立體幾何中動點的軌跡問題，連結為立體幾何中的動點軌跡問題，在本題目中滿足MN⊥平面PCE，能初步判斷N點的軌跡為平面PCE中的某條線段，這樣求AM+MN的最小值只需要將兩個平面展成同一個平面，利用點到直線的距離即可。
本題目很容易看成是正方體中的一個角，因此通過建立坐標系來解也是一種方法，但是最後AM+MN的表達式是一個一次函數加上一個帶根式的二次函數的形式，很遺憾沒辦法求最值，因此題目只能把N點的軌跡找出來。
因為AB⊥PE,AB⊥CE,則AB⊥平面PCE,取CE的中點O，連接OD，則OD⊥平面PCE,連接PO，作MN//DO，則MN⊥平面PCE，這樣就找到了N點的軌跡為線段PO，再把平面POD和平面PAD展開即可。
本題目相對簡單，四邊形由兩個全等的三角形組成，在△BFD1中，底邊長BD1已知，只需求點F到BD1距離的最小值即可，因為BD1和CC1為異面直線，只需求出兩條異面直線之間的距離即可。
之前推送中給出了射影法求異面直線的距離，連結為：投影法求異面直線之間的距離，因為CC1和BD1在底面ABCD的投影分別為點C和線段BD，可知點C到線段BD之間的距離即為兩條異面直線之間的距離，題目不難，過程就不再給出了。
解讀：本題目的考試意義不大，重點知道怎麼把題目中的MN/√2轉化為某條線段即可，在所給的條件中若出現一個以MN為斜邊的等腰直角三角形，則MN/√2即等價於該等腰直角三角形的直角邊，因此找到等腰直角三角形是解題的關鍵。